кр по вышке № 4вариант 1
.docКонтрольная работа № 4
Задачи 121-130. Вычислить: 1-3) производную ; 4) производные ; 5) в данной точке ; 6) производную n-го порядка для данной функции y(x).
121. 1) ; 2) 3) 4) ;
5) ; 6)
Решение:
1) 2) Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
3) Применим правило дифференцирования
[ f(x)g(x) ] = g(x) ·f(x)g(x) 1 ·f (x) + f(x)g(x) ·lnf(x) ·g (x), а также правило дифференцирования сложной функции:
4) Поскольку функция задана неявно, ее следует продифференцировать по x, считая у функцией от х . . Далее, аналогичным образом найдем вторую производную:
То есть, учитывая что первая производная равна , получим .
5)
6) Найдем первую производную:
— производная второго порядка;
— производная третьего порядка и т.д. Следовательно, производная n-го порядка для данной функции будет иметь вид
Задачи 131-140. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, вычислить значение функции с точностью до 0,001.
131. .
Решение: Выражение представимо в виде при x=64. В частности, при x0=63 .
Для вычисления значения функции применим формулу Тейлора:
f(x) = f(x0 ) + f (x0 ) (x x0 )/ 1!+ f" (x0 ) (x x0 )2/2! + ... + f(n) (x0 ) (x x0 )n/ n! + Rn (x), где . Требование будет выполнено, если
Найдем первую производную при n=0 . При n=0 . Найдем вторую производную при n=1 Это удовлетворяет заданной точности, поскольку . Отсюда находим значение функции при n=1 в ряде Тейлора:
Ответ:
Задачи 141-150. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b].
141. .
Решение:
Найдем производную . y`=0 при x=1— это единственная критическая точка на . Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
Ответ: при x=1; ymax=ln5 при x=3.
Задачи 151-160. Провести полное исследование данной функции и построить ее график.
151.
Решение:
1) Область определения функции Область допустимых значений функции y>0.
2) Функция не является четной или нечетной.
3) График функции не пересекает ось OX, так как уравнение не имеет действительных корней. Найдем точки пересечения графика с осью ОY; имеем y=e0=1 при x=0.
4) Найдем производную: . Существует единственная критическая точка x=1. В промежутке , следовательно, функция возрастает; в промежутке , следовательно, функция убывает. Значит, при x=1— в точке максимума — ymax=e1=е=2.718.
5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как
.
Корни уравнения равны — точки перегиба, значит, на интервалах и функция выпукла вниз; на интервале и функция выпукла вверх.
6) График функции не имеет вертикальной асимптоты, так как ни одно из предельных значений не является бесконечным: . Найдем наклонные асимптоты:
Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение y=0.
Строим график функции.
Задачи 161-170.
161. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло наименьшее количество полотна?
Решение:
Обозначим радиус основания через y, а высоту через x. Тогда объем шатра , отсюда . Площадь боковой поверхности шатра . Исследуем полученную функцию на минимум на промежутке : . , если . Найдем отношение высоты конуса к радиусу его основания .
Ответ: 1.