Высшая математика часть 1. Контрольная работа №3. Вариант 4

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного, вечернего и дистанционного обучения

Специальность: программное обеспечение

информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 3

Вариант № 4

3. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Задание 104.

Построить график функции y = f(x) преобразованием графика функции y = sin x

y = 2sin

Для построения графика функции y = 2sin воспользуемся вспомогательными функциями:

1. y = sin x

2. y = sin

3. y = sin

4. y = 2sin

Все графики отобразим на одной системе координат:

1. y = sin x

   x	0							π
   y	0		1	0	1			0

2. График y = sin получится из графика y = sin x сжатием этого графика в коэффициентом вдоль оси абсцисс. То есть значение функции найдём при помощи умножения абсциссы на .

То есть

* =

* =

* =

* =

* =

x	0
y	0		1	0	1

3. график y = sin получается из графика смещением точек графика функции на 2 единицы влево в системе x′0y′ и на * 2 = в старой системе координат x0y.

4. И в конечном итоге наш искомый график получится растягиванием графика функции y = sin вдоль оси 0y в 2 раза

Задание 114.

Дана функция r = f(φ) на отрезке 0 ≤ φ ≤ 2π. Требуется:

1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая j значения через промежуток p /8, начиная от j =0;

2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

r =

1. Составим таблицу

φ	0								π
r	2	~3,2	~6,8	~26,2	→∞	~26,2	~6,8	~3,2	2

φ								2π
r	~1,4	~1,2	~1,04	1	~1,04	~1,2	~1,4	2

Подставляя r = и sinφ = в уравнение заданной линии, получим:

= =>

= 2 + y

= 4 + 4y +

− 4y – 4 = 0

y = – 1

Полученное уравнение есть уравнение параболы с вершиной в точке (0; −1)

Задание 124.

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)

б)

в)

г)

а) = = = = =

б) = = = = = = =

в) = = = =

г) = = = = = =

Задание 134.

Заданы функция y = f(x) и два значения аргумента x₁ и x₂.

Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа;

3) сделать схематический чертеж.

f(x) = , = 7 , = 5

Функция в точке = 7 непрерывна, так как в этой точке непрерывна функция , а также .

Точка = 5 – это точка разрыва этой функции, так как f(x) в этой функции не определена.

=> = 5 – точка разрыва первого рода

Чтобы сделать схематический чертёж найдём:

= = 1

144. Задана функция y = f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

y =

Функция непрерывна на (−∞; 0], функция непрерывна на (0; 2), а функция непрерывна на [2; +∞).

Значит функция непрерывна на интервалах: (−∞; 0)(0; 2)⋃(2; +∞).

Остаётся исследовать точки = 0, = 2. Находим левые и правые пределы в этих точках:

=> = 0 – это точка разрыва первого рода

= −1

=> в точке = 2 функция непрерывна

= 4