К.р. №5-6 1 вариант
.doc221. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
Решение.
, сделаем замену: .
Тогда , .
,
,
,
,
, , - общее решение.
“Потерянные” решения:
ОДЗ(область допустимых значений) уравнения
- решение получится и ОР при .
Ответ: ,
231. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
Решение.
1)
- характеристическое уравнение
,
,
, - ОР (*)
2) Правая часть
2.1) (**)
- вид частного решения (**)
, . Подставим в (**):
- вид ЧР(**)
2.2) (***)
, . Подставим в (***):
- ЧР (***)
Общее решение ДУ:
, .
3)
;
;
Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
Ответ:
241. Найти общее решение системы уравнений:
Решение:
Применим метод Эйлера. Запишем систему в матричной форме:
.
Составляем характеристическое уравнение системы:
,
1) , , где
,
2) , , где
,
3) Общее решение системы ДУ находим, как линейную комбинацию полученных частных решений, т.е.
, где ,
или в матричной форме
.
Ответ: , где
251. Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству . Найти зависимость от времени , если известно, что по истечении 1600 лет остается половина первоначального количества радия. Принять первоначальное количество радия .
Решение:
- количество радия в момент времени
;
1) (*) - условие пропорциональности и .
, , ,
,
, - ОР(*)
2)
3)
Ответ:
261. Вычислить криволинейный интеграл
вдоль линии от точки А (–1;1) до точки В (2;2).
Решение:
1) Отрезок задан уравнением: .
.
2) Отрезок задан уравнением: .
.
3) .
Ответ: 6.
271. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость изобразить на чертежах:
Решение:
- тело ограниченное .
- проекция на плоскость .
Вычислим объем :
(куб.ед.)
Ответ: куб.ед.
281. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр положителен.
Решение:
, .
Перейдем к полярным координатам:
, тогда
.
(кв.ед.)
Ответ: кв.ед.
291. Даны векторное поле и плоскость : , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля через часть плоскости , ограниченной координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости , которая образует с осью острый угол; 2) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности. Сделать чертеж.
Решение:
1) Поток поля через в направлении .
.
2) Поток через пирамиду .
Так как поверхность пирамиды замкнута, то по форму Гаусса-Остроградского:
Ответ: 1) ; 2) .
301. Проверить, будет ли поле вектора : а) потенциальным; б) соленоидальным ? В случае потенциальности поля найти его потенциал :
Решение:
a) Поле определено во всем пространстве, т.е. в односвязной области,
поэтому для потенциальности достаточно . Найдем:
.
И так поле потенциально. Для вычисления потенциала по формуле в качестве точки возьмем начало координат. Тогда получаем:
б) Проверим соленоидальное поле вычислив:
Значит поле не является соленоидным.
Ответ: Поле вектора потенциально и не является соленоидальным .