К.р. №2. 9 вариант

Задача 79.

Построить график функции преобразованием графика функции : .

Шаг 1. Построим график функции y=cos x

Шаг 2. Построим график функции y=3cos x. Он будет представлять собой график функции у=cos x вытянутой в три раза в высоту.

Шаг 3. Построим график функции Он будет представлять собой график функции y=3cos x, растянутой в 2 раза по горизонтали.

Шаг 4. Построим график функции . Он будет представлять собой график функции .

Задача 89.

Дана функция на отрезке . требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток , начиная от ; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

.

1) Для построения графика создадим таблицу соответствия радиусов углам

	0															
r		78,82	20,49	9,72	6,00	4,34	3,51	3,12	3,00	3,12	3,51	4,34	6,00	9,72	20,49	78,82

График имеет следующий вид:

2) Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат.

Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами (x, y) и полярными координатами (r, ) существует следующая связь:

; ; откуда

Поставив и в исходное уравнение получим

После преобразований получим искомое уравнение:

Ответ:

Задача 99.

Найти указанные пределы не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а)

б)

в)

Используем бесконечно малые значения функции

г)

Используем свойства алгоритмов для преобразования

Применив следствие из второго замечательного предела получим

Ответ: а) 5; б) ; в) 0,2; г) .

Задача 109.

Заданы функция и два значения аргумента x₁ и x₂. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

.

1) Для точки

следовательно функция непрерывна

Для точки

следовательно не определена.

2) В точке

;

непрерывна в точке

В точке

;

не определена, разрыв второго рода.

3) схематический чертеж:

Задача 119.

Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Функция f(x) определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными функциями, следовательно, разрыв возможен только в точках и

Для точки

Значение функции в точке ;

Предел функции слева ;

Предел функции справа .

Оба предела существуют и равны значению функции в точке, следовательно, функция в точке непрерывна.

Для точки

Значение функции в точке ;

Предел функции слева ;

Предел функции справа .

Функция определена в точке , имеет оба предела, но т.к. предел слева равен бесконечности, имеет разрыв второго рода в данной точке.

11