К.р. №2 9 вариант

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОННИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность: автоматизированные системы обработки информации

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №2

ВАРИАНТ №9

Электронный адрес

Контрольная работа №2

Элементы линейной алгебры

Вариант 9

№49

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

Решение:

Вычислим определитель матрицы этой системы:

.

Поскольку количество неизвестных совпадает с количеством уравнений и определитель матрицы системы не равен нулю, то данная система является совместной.

1. Решим систему методом Крамера

:

2) Решим систему методом Гаусса

2)

Ответ: .

№59

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Решение:

Определим ранг матрицы системы:

Ранг матрицы системы равен 2. Ранг расширенной матрицы системы равен 2. Система совместна, число независимых переменных 2-2=2. Получаем:

№69

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

.

Решение:

Найдем собственные значения этой матрицы:

Найдем собственные векторы:

.

№79

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.

.

Решение:

Запишем матрицу квадратичной формы:

.

Найдем собственные значения этой матрицы:

.

Находим собственные векторы:

Нормируем собственные векторы:

Матрица перехода:

Делаем замену переменных и подстановку:

Получили каноническое уравнение гиперболы.