К.р. №3 8 вариант
.docxДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ контрольная работа №3
128.
Найти производную
данных функций:
г)
д)
Решение:
найдем
производную данной функции
=
=
=
=
=
=
;
посчитаем
производную от данной функции
=(Найдем
производную используя правило
(f(g(x))
)’=f’
g’)
(1)
=
=
;
посчитаем
производную от данной функции
(используя
(1) получим)=
=
=
г)
найдем производную данной функции, для
этого сначала прологарифмируем последнее
равенство по основанию е, получим
отсюда
получим,
=
д)
=
найдем производную в неявном виде
=(
Ответ:
а)
,б)
в)
г)
д)
138.
Найти
б)
,
y=
Решение:
Найдем
для этого воспользуемся правилом (uv)
=
u
v+v
u
y’=
=
=
Найдем
=
б)
Найдем
для этого воспользуемся правилом
нахождения производной от функции
заданной параметрически
,
Найдем
, для этого посчитаем
и
,
;
=-2
.
Найдем
для этого посчитаем
-2
;
=
Ответ:
а)
,
148. Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб поперечное сечение, которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образованный стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
Решение:
Сделаем чертеж сечения желоба
Для
того, чтобы объем был максимальный
необходимо, чтобы площадь трапеции была
максимальной и потом вычислим угол
EFG=90+
EFL
. Найдем площадь трапеции:
Для этого найдем FL(высоты) из треугольника FLE по теореме Пифагора
;
FL=
=
Получили функцию исследуем ее на максимум
Найдем экстремумы данной функции
корни
x=5
или х=-10, х=-10 не корень уравнения. Получили
единственный корень х=5. Определим это
точка максимума или минимума
Получили х=5 точка максимума .
Для
того чтобы найти
равный половине гипотенузы.
Ответ:120 градусов
158. Провести полное исследование функции и построить ее график:
Решение: исследуем функцию.
-
D(y)=[0;+∞) область определения функции
-
E(y)=(-∞;1)U(1;+∞)
-
Функция не является ни четной ни нечетной
-
Находим точки пересечения с осями координат у=0, х=-2; х=0, у=4
-
Точка разрыва х=1, причем
,
х=0 является вертикальной асимптотой
графика. Находим наклонные асимптоты:
k=
b=
y=1
наклонная асимптота
-
Найдем экстремумы функции и интервала возрастания и убывания.
=
существует единственная критическая
точка х=-2. Определим для у
промежутки знакопостоянства
>0
при х
функция
убывает
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Так как
при
график вогнут
при
график выпуклый
Строим график:
168.Дана
функция
.
Показать, что
Решение:
Найдем
)
=
,
теперь
;
Найдем
)
=
,
теперь
;
Находим
Показали требуемое.
178.
Даны функция z=f(x,y)
и две точки А(
)
и В(
).
Требуется:
1)вычислить
приближенное значение
функции в точке заменив В исходя из
значения
в точке А, заменив приращение от точки
А к точке В дифференциалом; оценить в
процентах относительную погрешность
возникшую при замене приращения функции
ее дифференциалом; составить уравнение
касательной плоскости в точке С(
)
z=xy+x-y A(1.5;2.3) B(1.43;2.35)
Решение:
-
Вычислим значение
в точке В
Посчитаем
f(1.43;2.35)≈2.65-0.231+0.025=2.444
-
Считаем погрешность:
δ=
=
=0.14%.
3.Составим уравнение касательной в С(1.5;2.3;2.65) , оно имеет вид
Ответ: 2.444;
δ=0.14%;
.