Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных.

Рассмотрим краевую задачу для круга, которая формулируется следующим образом: найти функцию u, удовлетворяющую уравнению

внутри круга, и граничному условию

u = f на границе круга, где f – заданная функция. Такая задача носит название задачи Дирихле. Будем рассматривать также внешнюю задачу.

В полярных координатах наше уравнение будет иметь вид

Будем искать решение в виде

Подставляя в уравнение, получаем

В результате получаем два уравнения:

Решение первого уравнения имеет вид

Из однозначности функции получаем условие периодичности

Отсюда получаем, что где n – целое число, и

Уравнение на функцию R примет вид

Будем искать его решение в виде

Подставляя, получаем

и в результате

В случае внутренней задачи мы должны положить D = 0, а в случае внешней C = 0.

Т. о., мы нашли частные решения нашей задачи

и

Сумма частных решений

внутренняя задача

внешняя задача

Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся граничными условиями

Разложим функцию f(φ) в ряд Фурье

где

получаем для внутренней задачи

и решение задачи для круга принимает вид

Для внешней задачи

и решение задачи для круга принимает вид