Основы расчетов на прочность. Основные понятия

Как показывает опыт, для решения задач о прочности той или иной детали следует принимать во внимание деформацию этой детали под действием приложенных к ней сил.

Деформацией называется изменение формы и размеров данного твердого тела.

В деталях инженерных сооружений и машин, как правило, деформации, допускаемые во время нормальной работы механизмов, малы по сравнению с начальными размерами детали.

Практика показывает, что если силы вызвавшие некоторую деформацию тела, будут затем устранены, то тело полностью или частично восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. В связи с этим общая деформация делится на исчезающую, или упругую, и на остаточную, или пластическую.

Упругостью называется свойство материала восстанавливать формы и размеры деформированного тела после прекращения действия приложенных к нему сил.

Пластичностью называется свойство материала претерпевать большие деформации без разрушения и сохранять эти деформации после прекращения действия внешних сил.

Все реальные материалы, применяемые в инженерном дел, обладают в той или иной степени этими свойствами. Как правило, сначала в теле обнаруживается только упругие деформации, а затем появляются и остаточные, пластические деформации. В зависимости от степени наличия того или иного свойства материалы иногда называют упругими или пластичными.

Хрупкостью называется свойство материала разрушаться без остаточных явлений деформаций.

Основные виды нагружения

В зависимости от характера приложенных к стержню внешних сил различают простейшие виды нагружения.

1. Растяжение и сжатие. В этом случае приложенные к стержню силы направлены вдоль от стержня и приложены в центре тяжести его поперечного сечения. Можно сказать, что растяжение и сжатие вызывается продольными силами, которые могут быть приложены не только по концам стержня, но и в промежуточных сечениях его.

2. Сдвиг (срез, скалывание). Сдвиг вызывается силами направленными поперек оси стержня и близко расположенными друг к другу. Деформации подвергаются области CD и С₁D₁ вблизи мест приложения этих поперечных сил.

3. Кручение. Кручение вызывается парами сил, расположенных в плоскостях перпендикулярной к оси стержня.

4. Изгиб. Деформация изгиба вызывается силами перпендикулярным к продольной оси стержня, и парам сил, расположенных в продольной плоскости, проходящей через ось стержня.

6. Растяжение и сжатие. Во многих случаях собственный вес частей машин и сооружений весьма мал по сравнению с приложенными нагрузками. Поэтому в этих задачах не учитывают действие собственного веса, что упрощает расчет и дает очень малую ошибку в результаты.

Рассмотрим призматический стержень (т.е. прямой стержень постоянного сечения F), закрепленный верхним концом в сечении А и нагруженный осевой силой на нижнем конце. Проведем произвольное сечение mn перпендикулярное к оси стержня и расположенное на расстоянии х от нижнего конца. Отбросим верхнюю часть стержня и рассмотрим равновесие оставшейся нижней части. По сечению mn будут действовать напряжения, заменяющие действие отброшенной верхней части на нижнюю. Возникает вопрос о том, по какому закону эти напряжения распределены по данному сечению. Произведя растяжение стержней с различной формой поперечного, сплошных и трубчатых, и измеряя деформацию в различных точках разных поперечных сечений, можно практически убедиться в том, что в данном случае все элементы стержня деформируются одинаково. Поэтому можно сделать вывод, что напряжения по сечению распределены равномерно и что эти напряжения параллельны действующему усилию. Из уравнения равновесия для отсеченной части стержня находим продольную силу в сечении , т.е. продольная сила во всех сечениях данного стержня имеет постоянную величину. В силу гипотезы о равномерном распределении напряжений по сечению стержня можно написать

или (1)

Формула (1) применяется в теории растяжения или сжатия призматических стержней без учета собственного веса. Вычислив по этой формуле напряжения в поперечном сечении стержня, нужно оценить данное напряженное состояние с точки зрения его опасности или безопасности для нормальной эксплуатации машины или сооружения. Допустим что мы имеем возможность неограниченно увеличивать силу . В таком случае после достижения максимального значения Р_мах произойдет разрушение стержня. Отнеся силу Р_мах к начальной площади поперечного сечения стержня, получим так называемый предел прочности материала, или временное сопротивление разрыву

Пределом прочности материала, или его временным сопротивлению разрыву, называется условное напряжение, вычисляемое делением максимального растягивающего на первоначальную площадь поперечного стержня при его разрыве.

Эта характеристика – одна из важнейших при оценке инженерных качеств того или иного материала. Ясно, что в нормально работающей детали, которая длительное время ни разрушаться, ни сильно деформироваться под действием рабочих усилий, действующее напряжение должно быть меньше предела прочности материала. Длительный опыт эксплуатации различных машин и сооружений и некоторые теоретические соображения показывают, что для нормальной работы детали действующее в ней напряжение не должно превышать части от предела прочности. Эта часть предела прочности получила название допускаемого напряжения и условно обозначается [ ] :

; к >1 (3)

Правильный выбор величины к, которая в свою очередь получила название общего запаса прочности или общего коэфициэнта безопасности, представляет весьма ответственную и трудную задачу. Чтобы облегчить работу конструктора или эксплуатационника при изготовлении или эксплуатации многих сооружений и машин, в специальных механических нормах установлены допускаемые напряжения. Тем самым ответственность за правильный выбор этой величины возлагается на ту научно-техническую организацию, которая утвердила указанные выше нормы.

Расчеты на прочность и жесткость

1. Если известно допускаемое напряжение , то можно оценить напряженное состояние рассчитываемой детали по формуле

(4)

Эта формула называется формулой поверки точности.

2. Если ее решить относительно действующей силы , то получится второй вид этого уравнения, которое называется формулой проверки предельной (допускаемой) нагрузки

(5)

3. Наконец, если решить уравнение (4) относительно площади поперечного сечения F, то получится третий его вид который может быть назван формулой определения необходимых размеров по условию прочности.

(6)

В сопротивлении материалов весьма распространен метод графической иллюстрации полученных решений. Так, например, для рассматриваемой задачи можно построить эпюры продольных сил и напряжений вдоль стержня. Эпюра продольных сил – это график, выявляющий зависимость действующей в поперечном сечении стержня продольной силы от положения сечения. Для данной задачи продольная сила определяется уравнением В данной задаче и продольная сила и напряжение в поперечном сечении не зависят от координаты х. В других задачах этого может не быть Сечение с наибольшим напряжением называется опасным.

Если сечение стержня переменно или та продольная сила в различных сечениях стержня имеет разные значения, то вместо формулы (1) надо написать

Э

то выражение применяется для расчета опасного сечения, т.е. сечения в котором напряжение получается наибольшим.

Опасное сечение определяется конкретными числовыми данными и может оказаться в изображенном на рисунке примере на втором или четвертом участке.

Рассмотрев вопрос о напряжениях, обратимся к изучению деформации при растяжении-сжатии. Если расчет по напряжениям называется расчетом на прочность, то расчет по деформациям – расчетом на жесткость. В основе этого изучения лежит установленный опытным путем закон Гука. В общем виде этот закон гласит: в определенных пределах деформации пропорциональны действующим усилиям. Применительно к случаю растяжения призматического стержня без учета собственного веса закон Гука выражается формулой:

(6)

т.е. абсолютные удлинения стержня прямо пропорционально действующей силе и длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и коэффициенту Е, называемому модулем упругости первого рода, или модулем Юнга (модулем продольной упругости). Формулу (6) можно назвать формулой закона Гука в абсолютных единицах. Если использовать понятие относительного удлинения , то формулу (6) с учетом формулы (1) можно записать в виде

(7)

Относительное удлинение есть величина безразмерная. Поэтому модуль продольной упругости Е имеет размерность напряжения. Если решить формулу (7) относительно Е, то получим Отсюда вытекает одно из возможных определений модуля продольной упругости: модулем продольной упругости для данного материала называется отношение нормального напряжения к вызванному им относительному удлинению в пределах справедливости закона Гука. Этот коэффициент является весьма важной физической константой материала и для всех основных материалов дается в справочной литературе. Для большинства механических расчетов модуль продольной упругости для стали Е=2*10⁵н/мм²; для меди Е=2*10⁵н/мм²; для чугуна

Е=1,3*10⁵н/мм²; для алюминия Е=0,7*10⁵н/мм²; для кованого чугуна Е=1,55*10⁵н/мм²; для латуни Е=1*10⁵н/мм².