Твердость материалов

Испытание образцов на растяжение и сжатие дает объективную оценку свойств материала. В производстве, однако, для оперативного контроля за качеством изготовляемых деталей этот метод испытания представляет в ряде случаев значительные неудобства. На практике прибегают к сравнительной оценке свойств материала при помощи пробы на твердость. Под твердостью понимается способность материала противодействовать механическому проникновению в него посторонних тел. Такое определение твердости, по существу повторяет определяющие свойства прочности. В материале при вдавливании в него острого предмета возникают местные пластические деформации, сопровождающиеся при дальнейшем увеличении сил местным разрушением. Поэтому показатель твердости связан с показателем прочности и пластичности и зависит от конкретных условий ведения испытания.

Наиболее широкое распространение получили пробы по Бринеллю и по Роквеллу. В первом случае в поверхность исследуемой детали вдавливается стальной шарик, во втором – алмазный наконечник. По обмеру полученного отпечатка судят о твердости материала. При помощи переводных таблиц приближенно по показателю твердости определяют предел прочности материала. Таким образом, в результате пробы на твердость удается определить прочностные показатели материала, не разрушая детали.

Одной из основных технологических операций позволяющих измерить в нужном направлении свойства материала, является термообработка. Например, закалка резко повышает прочностные характеристики стали и одновременно снижает ее пластические свойства. Для большинства широко применяемых в машиностроении материалов хорошо известны те режимы термообработки, которые обеспечивают получение необходимых механических характеристик материала.

Кручение

Непосредственный эксперимент, проводимый в пределах пропорциональности, показывает следующее:

1. Длина стержня, а также расстояние между любыми двумя соседними поперечными окружностями, нанесенными на стержне, остаются без изменения;

2. Диаметр стержня также не изменяется и, следовательно, не изменяется объем стержня;

3. Правое концевое сечение поворачивается относительно левого на некоторый угол φ, называемый угол углом закручивания; два смежных сечения расположенных на расстоянии dx друг от друга, поворачиваются взаимно на угол dφ; величина

являющиеся относительным углом закручивания, оказывается постоянной, т.е. деформация кручения равномерно распределяется по длине стержня;

4.Произведя испытания на скручивание цилиндрических образцов различных образцов различных размеров, изготовленных из одного и того же материала, можно на основании найденных при испытании данных получив формулу

(1)

эта формула – закон Гука при кручении. Входящий в формулу коэффициент к зависит от материала стержня.

При кручении действуют только касательные напряжения, поэтому проверка прочности проводится по формуле:

(2)

где М – крутящий момент, r – радиус стержня, а I_p – полярный момент инерции сечения, вычисляемый по формуле (ρ – радиус, определяющий расстояние от полюса О до элементарной площади dF). Для круглого сечения

Обычно выражение I_p/r обозначают одним символом W_p и называют эту характеристику поперечного сечения (имеющую размерность длины в кубе) полярным моментом сопротивления сечения. Для круглого сечения

Уравнение (2) можно переписать в более простом виде:

(3)

Решая выражение (3) относительно μ, получим формулу проверки грузоподъемности стержня по условию прочности:

Наконец подставляя вместо W_p его значение и решая относительно d, получим формулу определения необходимых размеров по условию прочности:

Построение эпюр крутящих моментов

Детали (валы) машин и механизмов подвергаются действию многочисленных факторов, приложенных в различных местах по длине стержня. При построении эпюры крутящих моментов обычно отвлекаются от действия изгибающих силовых факторов и рассматривают действия только крутящих моментов.

В состоянии установившего движения μ₀= μ₁+ μ₂+ μ₃; где μ₀ – момент ведущего шкива, μ₁, μ₂, μ₃ – моменты ведомых шкивов. При построении эпюр крутящих моментов какое-то направление приложенных к шкивам моментов принимают за положительное, а противоположное за отрицательное . Знак момента на имеет никакого значения для расчета на прочность.

Кручение некруглых стержней

Оказывается, что при кручении некруглых стержней формулы расчета на прочность и на жесткость имеют вид:

В этих формулах W_k – момент сопротивления сечения при кручении I_k – момент жесткости сечения при кручении. Обе величины берутся из справочной литературы. Например, для сечения в форме узкого прямоугольника при отношении сторон h/b>10 можно принять

Изгиб

Как было указано ранее, изгиб стержня вызывается силами, действующими перпендикулярно к оси стержня и удаленными достаточно далеко друг от друга. Подвергающаяся действию внешних сил (нагрузок) балка должна быть в пространстве геометрически неизменяема (если не учитывать ее деформации). Для этого она должна быть каким-то образом закреплена. Устройства, с помощью которых балка прикрепляется к другим телам, принимаемым за неподвижные, называется опорными устройствами, или кратно-опорами.

Имеются три наиболее распространенных типа опор:

1. Шарнирно-подвижная опора

2. Шарнирно-неподвижная опора

3. Жесткая заделка

Шарнирно-подвижная опора отнимает у балки одну степень свободы, а возникающая в ней реакция имеет одну неизвестную – величину реактивной силы, которая перпендикулярна к поверхности катания (скольжения).

Жесткая заделка отнимает три степени свободы у балки. И имеет три неизвестных силовых фактора: две силы перпендикулярных и параллельных балке и пара сил с моментом μ_p.

Изгибающий момент и поперечная сила

Для расчета на прочность при изгибе необходимо научится определять действующие в любом сечении балки силовые факторы. Рассмотрим балку АВ:

Проведя произвольное сечение на расстоянии х от левого конца балки, изображаем отсеченную левую часть балки отдельно, показывая все приложенные к ней нагрузки и реактивные силы, т.е. все внешние силовые факторы, действующие слева от сечения. Из условий равновесия левой части получим:

(1)

где Q – поперечная сила в данном сечении балки, равная сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, перпендикулярного к оси балки прямую, лежащую в силовой плоскости.

μ – изгибающий момент в данном сечении балки, равен сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения.

При установлении соотношений (1) была рассмотрена левая отсеченная часть балки. Однако такой же результат легко можно получить, рассматривая правую часть балки, так как вся балка находится в равновесии, т.е. поперечная сила и изгибающий момент в данном сечении балки не зависят от того, какую часть балки рассматривают – левую или правую. В отношении знака, приписываемого этим силовым фактором надо сделать следующее значение. Знак должен указывать на характер деформации, вызываемой данным силовым фактором. Одинаковому характеру деформации должен соответствовать одинаковый знак силового фактора. Изгибающему моменту, вызывающему искривление балки выпуклостью вниз условились приписывать знак +. Отсюда вытекает правило знаков для изгибающего момента, которое может быть сформулировано в двух вариантах:

1. Изгибающий момент считается положительным, если он стремится вращать левую часть балки по часовой или правую против;

2. Изгибающий момент положителен, если он гнет балку выпуклостью вниз.

Аналогично установлено и правило знаков для поперечной силы: поперечная сила считается положительной, если она стремится сдвинуть левую часть балки вверх, а правую вниз.

В общем случае величины и знаки изгибающего момента и поперечной силы в различных сечениях балки различны, т.е. они являются функциями координаты х: μ=μ(х); Q=Q(x)

Как и в других случаях, в целях наглядности принято строить эпюры изгибающего момента и поперечной силы. Эпюры не только наглядно показывают, как изменится та или иная величина вдоль по балке, но и сразу позволяют установить те сечения балки, где эти величины достигают своего наибольшего значения, а именно эти сечения могут быть наиболее опасными с точки зрения прочности, и потому их нахождение является весьма важной задачей.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Консоль АВ заделана в сечение В, а на конце А приложена сила . Проводим сечение на расстоянии х от левого конца балки и по данному определению составляем уравнение изгибающего момента и поперечной силы в сечении μ= -Рх Q= -P (2)

Начертив координатные оси μ-х и Q-x в соответствующем масштабе изображаем уравнение (2) графически. По эпюрам видно, что наибольший по абсолютной величине изгибающий момент имеет место в защемлении . Поперечная сила везде постоянна и равна по величине . Следовательно, опасным сечением балки является сечение в заделке.

Консоль АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью g. В данном случае удобнее рассматривать правую часть балки а не левую. По определению получаем:

(3)

Из формулы (3) видно, что поперечная сила изображается наклонной прямой (т.к. х входит в первой степени), а изгибающий момент – параболой. Давая х значения О и l находим: , , , . Заметим, что знак d²M/dx², будет отрицательным при любом значении х, вогнутость кривой обращена вниз, а первая обращается в нуль при х=l, то есть в этом месте касательная к эпюре изгибающего момента горизонтальна. Опять видно, что опасное сечение балки оказалось в заделке.

Следует обратить внимание, что в обоих случаях рассматривалась та часть балки, на которой не было заделки. Поэтому предварительно можно было не находить опорных реакций. Они получились в данном случае автоматически по эпюрам μ и Q как соответствующие краевые значения этих функций.

Для этой балки избежать определения опорных реакций нельзя. Поэтому сначала необходимо их найти. . Определение μ и Q приходится в данном случае вести отдельно на каждом участке балке, т.к. с переходом на другой участок меняется число участвующих в деформации силовых факторов. Граница участка всегда создается появлением какого-либо нового силового фактора или исчезновением старого. Проводим сечение на первом участке и, рассматривая левую часть балки, получаем:

Вычисляем значения μ₁ в начале и в конце участка:

и строим по этим данном масштабе эпюры на участке 1.

Для участка 2, рассматривая правую часть балки, получаем, получаем:

Аналогично предыдущему вычисляем:

В разобранном примере абсцисса х отсчитывается от одного и того же начала координат, но это не обязательно – можно на каждом участке балке выбирать новую координатную систему.