- •І. Характеристика дисципліни
- •У результаті вивчення дисципліни студент повинен
- •Теоретичної механіки
- •1.1. Сила. Система сил. Рівновага абсолютно твердого тіла
- •1.2. Аксіоми статики та їх наслідки
- •Питання для самоконтролю
- •2.1 Проекція сили на вісь і на площину. Аналітичний спосіб задавання сили
- •2.2 Зведення збіжних сил до рівнодійної
- •2.3. Умови рівноваги системи збіжних сил
- •3.3. Момент сили відносно осі
- •3.4. Залежність між моментами сили відносно точки і відносно осі, яка проходить через цю точку
- •3.5 Теорія пар сил
- •4.2. Головний вектор і головний момент довільної системи сил. Основна теорема статики твердого тіла
- •4.3. * Статичні інваріанти
- •4.7 Зведення системи сил до двох сил
- •4.8. Умови рівноваги довільної просторової системи сил
- •4.10. Поняття про статично визначені і статично невизначені задачі. Рівновага системи тіл
4.2. Головний вектор і головний момент довільної системи сил. Основна теорема статики твердого тіла
Нагадаємо, що першою (основною) задачею статики твердого тіла є вияснення умов приведення заданої (довільної) системи сил. що не збігаються, до простішого вигляду. Нижче викладено метод Пуансо зведення незбіжної системи сил до однієї сили і однієї пари сил.
Нехай задана довільна система сил , що діють на тверде тіло.
Головним вектором цієї системи сил називається векторна сума всіх сил заданої системи.
(4.1)
Головним моментом такої системи сил, відносно точки О, (центра зведення) називається векторна сума моментів всіх сил, що входять в систему, відносно того ж центра.
(4.2)
де ri - радіус-вектор, проведений з центра О в точку прикладення сили .
Проектуючи ліві і праві частини виразів (4.1) і (4.2) на осі декартової прямокутної системи координат Oxyz , не важко встановити аналітичні вирази для головного вектора і головного моменту
(4.3)
(4.4)
де FOXFOYFOZ і МОХМOYMOZ - проекції відповідно головного вектора і головного моменту на осі координат.
Тоді модулі і напрямні косинуси, відповідно, головного вектора і головного моменту визначаються виразами
(4.5)
(4.6)
Опираючись на лему про паралельне перенесення сили, доведемо основну теорему статики - теорему Пуансо .
Теорема. Довільну систему сил, що діють на тверде тіло, можна замінити еквівалентною системою, що складається з однієї сили, прикладеної в довільно вибраній точці тіла (центрі зведення), і рівної головному вектору даної системи сил, і однієї пари сил, момент якої дорівнює головному моменту всіх сил відносно вибраного центра зведення.
Рис. 4.2 Рис. 4.3
Доведення. Для доведення теореми розглянемо довільну систему сил ( ) (рис 4.2). Довільну точку О тіла G виберемо за центр зведення. Згідно леми 4.1, перенесемо всі сили в центр зведення О. Внаслідок цього, система сил ( ) стала еквівалентною системі сил ( ) прикладених в точці О (рис 4.3а) і приєднаних пар сил ( ) , ( ),..., (. ) (вони на рис 4.3 не показані), моменти яких (рис.4.3,б) мають вигляд:
де радіуси-вектори, проведені з центра зведення в точки прикладення сил . Визначаючи тепер рівнодійну одержаної збіжної системи сил в точці О (рис 4.3,а), а також результуючу пару з моментом для системи приєднаних пар (рис. 4.3,6), одержимо:
які згідно (4.1) і (4.2) являють собою, відповідно, головний вектор і головний момент заданої системи сил.
Теорема доведена.
З основної теореми статики випливає, що дві системи сил, для яких величини і співпадають, статично еквівалентні. Отже, для задання системи сил, що діють на тверде тіло, достатньо задати її головний вектор і головний момент відносно даного центра приведення.
Вияснено тепер, як буде змінюватись головний вектор і головний момент при зміні центра зведення.
Нехай, задана довільна просторова система сил ( ) прикладена до твердого тіла. (рис. 4.4). При зведенні заданої системи сил до центра О, як відомо, одержимо еквівалентну систему, яка характеризується головним вектором і головним моментом.
Зведемо тепер задану систему до нового центра Оь Очевидно, головний вектор при цьому не зміниться. Головний момент зміниться, оскільки відносно нового центра зведення момент кожної з сил буде іншим. Знайдемо його зміну.
Рис. 4.4
Нехай rij - радіус-вектор точки прикладення сили проведений з точки О1. Тоді:
З (рис 4.4) видно, що . Підставляючи значення . в попередню формулу , одержимо:
або
(4.7)
Таким чином, при зміні центра зведення головний момент змінюється на величину, що дорівнює моменту головного вектора відносно нового центра зведення.
Звідси, між іншим, випливає, що при перенесенні центра зведення вздовж лінії дії головного вектора головний момент змінюватись не буде. Формула (4.7) дозволяє зробити ще один висновок, важливий для дальшого викладення, а саме: якщо в будь-якому центрі зведення головний вектор і головний момент рівні нулю, то вони будуть рівні нулю в будь-якому центрі зведення.