Теорема Остроградского—Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей

Рис. 2

Пусть поле создается точечным электрическим зарядом q. Проведем замкнутую сферическую поверхность площадью S (рис. 2), окружающую этот заряд, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через эту поверхность. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали  . В этом случае во всех точках сферической поверхности E = const и cos α = 1.

Модуль напряженности поля на расстоянии R от заряда  . Площадь поверхности сферы  .

Следовательно, поток вектора напряженности через сферическую поверхность

Полученный результат будет справедлив и для поверхности произвольной формы, а также при любом расположении заряда внутри этой поверхности. Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью (рис. 2, а — поверхность изображена штрихами), то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 2, б), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линии, входящей в поверхность. Если же внутри поверхности площадью S₁(см. рис. 2) заряды отсутствуют, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю (N_S = 0).

Рис. 3

Если рассматриваемая поверхность охватывает не один, а несколько электрических зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму этих зарядов (рис. 3) и

Эта формула выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на произведение электрической постоянной и диэлектрической проницаемости среды.

Применим эту теорему для расчета электростатических полей некоторых проводников.

Равномерно заряженная бесконечная плоскость

Пусть σ — поверхностная плотность заряда на плоскости (рис. 4).

Рис. 4

В качестве поверхности площадью S выберем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости. Основания этого цилиндра расположены перпендикулярно линиям напряженности по обе стороны от плоскости. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (α = 90°, cos α = 0), то поток через боковую поверхность цилиндра отсутствует, и полный поток через поверхность цилиндра равен сумме потоков через два основания: N = 2ES. Внутри цилиндра заключен заряд q = σS, поэтому, согласно теореме Остроградского-Гаусса,  , где ε = 1 (для вакуума), откуда следует, что напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная равномерно заряженная нить

Пусть τ — линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длиной Δl и окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью (рис. 5).

Рис. 5

Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность  , где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю (α = 90°, cos α = 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр

Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, q = τ · Δl.

Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать   . Следовательно, модуль напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью на расстоянии R от нее,

РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА

Электростатическое поле - эл. поле неподвижного заряда. Fэл , действующая на заряд, перемещает его, совершая раборту. В однородном электрическом поле Fэл = qE - постоянная величина

Работа поля (эл. силы) не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории = нулю.

Работа электростатического поля по перемещению заряда.
а) Однородное электростатическое поле:   в каждой точке поля.     .   Следовательно:	W=qEr
Т.к. если вектор перемещения перпендикулярен вектору силы (напряженности поля), работа поля равна нулю, то работа электростатического поля по перемещению заряда по любой траектории определяется разностью координат этих точек.
Если обозначить координаты заряда в начальной и последующей точках r1 и r2, то:    Т.е. работа равна разности двух эквивалентных величин, зависящих от характера взаимодействия и взаимного расположения. Но мы знаем, что работа - мера изменения энергии. Можно предположить: W=qEr - потенциальная энергия заряда в данной точке электростатического поля. Зависит от выбора начальной точки отсчета потенциальной энергии.
Тогда:  - наиболее общий способ расчета работы в электростатическом поле
Т. е. работа при перемещении заряда между двумя точками в электростати­ческом поле -  не зависит от формы тра­ектории, а зависит от положения этих точек. - равна убыли потенциальной энергии заряда в этом поле; - работа по замкнутой траектории равна нулю.
Электростатическое поле, как и гравитационное, потенциаль­ное: А =  - mg(h2— h1)   = -W
б) Произвольное электростатическое поле. При перемещении заряда в произвольном поле из точки 1 в точку 2 работа должна быть равна по величине и противоположна по знаку работе в направлении от точки 2 к точке 1. В противном случае нарушается закон сохранения энергии: Пусть А12 < A21. Тогда внешняя сила может перемещать заряд по пути 12, а силы поля - по пути 21. Мы будем получать выигрыш в работе, т.е. получим вечный двигатель, что невозможно.