5. Свойства множества Парето: существование парето-оптимальных решений в конечном множестве.

Оптимальность по Парето — такое состояние системы, при котором значение каждого частного критерия, описывающего состояние системы, не может быть улучшено без ухудшения положения других элементов. Множество состояний системы, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето», либо «множеством парето-оптимальных альтернатив».

Алгоритм в лекциях.

5. Свойства множества Парето: существование парето-оптимальных решений в бесконечном множестве. Условие Парето-оптимальности.

Значительно увеличивается сложность вычисления алгоритма. Для получений условий существования Прт-оптимальных решений накладывается дополнительные ограничение.

Условие ПРТ-оптимальности. ДОСТАТОЧНОЕ.

Пусть M(мю) = (M1,M2…Mn) произведение на вектор с положительными компонентами в сумме составляют единицу, тогда точка максимума на множестве Х аддитивной свертки F критериев опре-ся равенством .

F=СУММА(Мi fi(x)).

Необходимое условие ПРТ-оптимальности.

Пусть Х выпукло и все компоненты f вогнуты в нем. Для любой ПРТ-оптимальной точки существует x принадлежащее p такой Mi, обладающей свойствами Mi > 0, СУММА(Mi)=1, аддитивная свертка F в точке x* достигаем своего максимума в точке Х.

Множество Х называется выпуклым, если оно с каждой парой своих точек содержит отрезок, соединяющий эти точки.

5. Свойства множества Парето: инвариантность множества Парето. Шкалы критериев.

P(Y) = { y* ∈ Y !y >= y*}

Множество Парето обозначает существующее множество решений, исходов не существует такого y, что оно >= y*. Множество Парето является инвариантным относительно преобразованию Фи(yi), то есть понятия множество Парето можно использовать в случаях, когда измерения значения критерия производится в порядковых шкалах. Фиi строго возрастающее, применяемое к значением критериев. Инвариантной множестве Парето не зависит от применения многокритериальной целевой ф-ции, значения которой есть результаты измерения (шкалах).

1. Количественные шкалы. Относительная и абсолютная, шкала разности и интервалов

2. Качественные шкалы.

3. Порядковая шкала,

4. Номинальная

Суть в классификации объектов разбиения на группы.

5. Идеальный вариант сравнения. Матрица относительных весов, ее свойства.

Матрица относительных весов. Пусть есть множество n-элеметнов A1,A2…An

Каждому объекту или элементов Ак ставим соответствие Wk (вес объекта)

Ak -> Wk. Пусть веса всех объектов подчинены условию нормировки (сумма W = 1)

A= (матрица отношений)

Где элементы этой матрицы aij = wi/wj

СВОЙСТВА A матрицы

В лекции…

5. Матрица парных сравнений. Свойства матрицы парных сравнений. Шкала отношений.

Пусть веса объекта заданы (w). Необходимо определить весовые коэффициенты для каждого из объекта a1,a2…an.

Цель метода – составить матрицу парных сравнений.

А=||aij|| = | a11 a1n|

| an1 ann|

Элемент aij показывает во сколько раз вес объекта ai больше веса объекта aj. Числа назначаются экспертом.

В соответствие с теорией метода анализа иерархии считается: все элементы аij больше нуля, диагональные элементы равны единицы. Матрица обратно симметрична, совместна, есть собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы А.

Шкала отношений.

Для установления важности элементов используется 9ти бальная шкала отношений Саати. Данная шкала позволяет ставить ЛПР в соответствие степеням предпочтения одного объекта перед другим через некоторые числа.

1. Одинаковая значимость

3. Некоторое преобладание

5. Существенная значимость

7. Очевидно сильная значимость

9. Абсолютная значимость

Согласованность изменений является важной характеристикой.