25. Взаимное расположение 2х прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между 2мя прямыми.

Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

 (12)

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l₁ и l₂, надо решить систему уравнений (12):  1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l₁ и l₂ пересекаются;  2) если система (12) не имеет решения, то прямые l₁ и l₂ параллельны;  3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l₁ и l₂ совпадают.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.      

 Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

£-это наим.угол,отсчит.против часовой стрелки от прямой с угловым коэф. l_{1 до} до прямой с угл.коэф. l₂.

26. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть на плоскости дана точка М(х,у) и прямая А, заданная уравнением норм.формы xcos£+ysin£-p=0. Найдем расстояние от точки до прямой А. Обозначимчерез d искомое расстояние и рассм.слуйчай,когда начало координат О и точка М лежат по разные стороны от заданной прямой А. Запишем ур-ние прямой, проходящей через точку М параллел.данной прямой А: xcos£+ysin£-(p+d)=0 . Формула получит вид: d=│xcos£+ysin£-p│. Если прямая А задана уравнением Ax+By+C=0. A²+B²≠0, можно получить формулу рас-ния от заданной точки М до прямой А

27.Плоскость. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;Плоскость — множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.Две плоскости являются либо параллельными либо пересекаются по прямой.Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке или же находится на плоскости.Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости параллельны друг другу.Две плоскости перпендикулярные одной и той же прямой параллельны друг другу.

Общее уравнение (полное) плоскости

где   и   — постоянные, причём   и   одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где   — радиус-вектор точки  , вектор   перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора  :

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю, уравнение называется неполным. При   П. проходит через начало координат, при   (или  ,  ) П. параллельна оси   (соответствённо   или  ). При   ( , или  ) П. параллельна плоскости   (соответственно   или  ).

Уравнение плоскости в отрезках:

где  ,  ,   — отрезки, отсекаемые П. на осях   и  .

Уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору нормали  :

в векторной форме:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где  - единичный вектор,   — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель