29. Уравнение прямой в пространсте-канонические, параметрические и общие.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором.

   Пусть L – произвольная прямая и   – ее произвольная, но фиксированная точка, О – начало координат,   – произвольная (текущая) точка прямой L,   – радиус вектор точки  ,   – радиус вектор текущей точки М,   – произвольный направляющий вектор прямой L.

           

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

                               ,    ,                             (7)

где   – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,   – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

   Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

30.Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.

Пусть уравнения

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₁² + B₁² + C₁² ≠ 0 и A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0, A₂² + B₂² + C₂² ≠ 0,

описывают в одной и той же декартовой системе координат две плоскости, нормальные векторы которых соответственно N₁ = (A₁, B₁, C₁) и N₂= (A₂, B₂, C₂). Угол между этими плоскостями — это угол между их нормальными векторами и определяется по формуле

Плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A₁= kA₂,B₁= kB₂ , C₁= kC₂ , D₁= kD₂.

Плоскости параллельны, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A₁=kA₂ ,B₁= kB₂ , C₁= kC₂ и D₁≠ kD₂ (нормальные векторы плоскостей параллельны).

Плоскости перпендикулярны, тогда и только тогда, когда A₁A₂ + B₁B₂+ C₁C₂ = 0 (нормальные векторы плоскостей перпендикулярны).

31. Взаимное расположение 2х прямых в пространстве. Угол между прямыми.

Прямые в пространстве могут пересекаться (тогда они лежат в одной плоскости), могут быть параллельными (тогда они также лежат в одной плоскости) или скрещиваться.

Пусть в трехмерном пространстве в некоторой декартовой системе координат определены две прямые, заданные своими параметрическими уравнениями:

 

Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда векторы

M₁M₂ = (x₁− x₂, y₁− y₂, z₁− z₂ ), a₁ = (l₁, m₁, n₁) и a₂ = (l₂, m₂, n₂),

компланарны, и при этом не параллельны векторы a₁ и a₂ , т.е. когда (M₁M₂, a₁, a₂) = 0 и [a₂,a₂] ≠ 0:

 

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда параллельны векторы a₁ и a₂,

т.е. когда существует число λ такое что, l₁= λl₂, m₁= λm₂, n₁= λn₂.

 

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда не компланарны векторы и при этом не параллельны векторы a₁ и a₂, т.е. когда (M₁M₂, a₁,a₂) ≠ 0 и [a₂,a₂] ≠ 0.

 

28. Уравнение плоскости в отрезках 

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D) , заменив  , получим уравнение плоскости в отрезках:               Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

32. Угол между прямою и плоскостью. Условия параллельности и перпенд.прямых.

 Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

  Пусть плоскость задана уравнением  , а прямая -  . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90⁰ - j, где a - угол между векторами   и  . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме: 

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.      

 Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

£-это наим.угол,отсчит.против часовой стрелки от прямой с угловым коэф. l_{1 до} до прямой с угл.коэф. l₂.