33.Множества . Числовая прямая. Ограниченные множества. Окрестность точки.

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Множество действительных чисел   называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:

Множество действительных чисел   называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше :b: 

Множество  , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество  , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок  ,

неограниченного — множество всех целых чисел  ,

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x < 0,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x > 0. Числовая ось, или числовая прямая — это прямая, на которой выбраны:

некоторая точка O — начало отсчёта;

положительное направление, указанное стрелкой;

масштаб для измерения длин.Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат — в положительном направлении со знаком плюс, иначе — со знаком минус.^[1] Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой — отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.

34. Последовательеость. Предел последовательности.

Если каждому числу N подставлено число в соотв. f(n) то говорят , что задан. последов. X(n) ,другими словами послед-сть-это функция натур.элемента. Пример: X_n-общий член. n-это элемент последовательности.(нарисовать числовой луч и обозначить числовые значения). Число а называеся пределом последовательности Для любого, сколько угодно малого, наберет заданного положит.числа Е. существует номер N(E), что для всех других номеров. Начиная с некоторого номера все члены последовательности расположены на интервале Е-окрестности точки а, а вне этой окр-ти лежит конечное число членов.

Если посл-сть имеет предел,то она ограничена. И если посл-сть имеет предел то этот предел единственный.

35. Б.М. И б.Б. Последовательности. Свойства

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

Если (x_n) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x_n), которая является бесконечно малой. Если же (x_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

Если (α_n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α_n), которая является бесконечно большой. Если же (α_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.