42.Первый и второй замечательный пределы.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известный первый и второй замечательные пределы. Первым замечательным пределом называется предел

Вторым замечательным пределом называется предел

Число  , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число   часто называют основанием натуральных логарифмов. Более подробное изучение числа   показывает, что   -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

43. Непрерывность функции в точке.  Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е. . Тот же факт можно записать иначе:  .Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной..f(x) = f(x₀) + a(x), где a(х) – бесконечно малая при хх₀. Свойства непрерывных функций.1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.2) Частное двух непрерывных функций  – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

44. Односторонние пределы.

ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ

- предел функции в нек-рой точке справа или слева. Пусть f - отображение упорядоченного множества X(напр., множества, лежащего на числовой прямой), рассматриваемого как топологич. пространство с топологией, порожденной отношением порядка, в топологич. пространство Y и   . Предел отображения f по любому интервалу   наз. пределом слева отображения f и обозначают

(он не зависит от выбора  ), а предел по интервалу   наз. пределом справа и обозначают

(он не зависит от выбора  ). Если точка   является предельной как слева, так и справа для множества определения функции f, то обычный предел

по проколотой окрестности точки х ₀ (в этом случае его наз. также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке х ₀ существуют пределы слева и справа и они равны между собой.

45. Односторонняя непрерывность и точки разрыва.

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х₀= х соответствует бесконечно малое приращение функции

 у—у₀ = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) – f (х₀)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если при х—> х₀ предел функции существует и равен ее частному значе­нию в этой точке, т. е. если lim f(х) = f(x₀).

 x->х₀. Для непрерывности функции f(х) в точке х₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х_0.(т. е. в самой точке х₀ и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

 lim f (х) = lim f (x);

 x->х₀ -0  x->х₀ +0   

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x₀).

Функция f (x) называется разрывной в точке х₀, если она опре­делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х₀ называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы

 lim f(x) и lim f(х).

 x-> х₀ -0 x-> х₀ +0. Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.Скачком функции f(х) в точке разрыва х₀ называется раз­ность ее односторонних пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.x-> х₀ -0  x-> х₀ +0 .

 

46. Свойства ф-ций, непрерывных в точке и на промежутке.теорема непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности элементарных функций. Теорема Вейерштрасса.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

 f(x) = f(x₀) + a(x),где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.