Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.2) Частное двух непрерывных функций  – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку, и при этом .Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.Теорема о непрерывн сложн ф-ии: Пусть ф-ия f(x) непрерывна в точке А, a ф-я g(y) непрер в точке b =f(a) ,тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр. точки А, которая непрерывна в точке А. Док-во:Возьмем >0, тогда из непрерывности ф-ии g(у) в точке b следует, что сущест. число >0, так ,что у /у-b/<, так, что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/< из непрерывности ф-ии g(x) в точке а  >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/<. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/< => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна в точке А. теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такая точка  , в которой функция достигает своего максимума,  найдется такая точка  , в которой функция достигает своего минимума.Доказательство:Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда в силу теоремы 1 она ограничена на этом отрезке. Следовательно, ограничено множество значений функции. Тогда в силу принципа верхней грани это множество обладает точной верхней и точной нижней границами. Обозначим:   и покажем, что   и будет наибольшим значением функции f(x) на отрезке [a,b]:  .Предположим противное, то есть  .

47. Производная. Определение,свойства. Геометрич.и экономич.смысл.Уравнение касательной.таблица производных. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование. Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: 

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций  3. Производная произведения  4. Производная дроби (производная частного)  5. Производная сложной функции  .

Если функция   имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число f'(x₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.Скорость изменения функции.Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀.Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протеканияпроцесса, описанного зависимостью y = f(x). Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

48. Производная сложной функции.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование. Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: 

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций  3. Производная произведения  4. Производная дроби (производная частного)  5. Производная сложной функции  .

Если функция   имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией