Свойства передаточной функции

1. ПФ линейной системы является дробно-рациональной функцией:

K(p) – входной оператор;

D(p) – выходной оператор.

Корни числителя: K(p)=0 – нули ПФ.

Корни знаменателя: D(p)=0 – полюса ПФ.

2. Все коэффициенты ПФ а_i, b_i являются числами.

3. Невещественные нули и полюса могут быть только парными комплексно-сопряженными.

4. Условие физически реализуемых систем m<=n.

Понятие о частотных характеристиках

Частотные характеристики звеньев и систем отражают зависимость установившихся параметров выходного сигнала для гармонического входного воздействия при изменении частоты от 0 до .

Пусть на вход звена (системы) подается гармонический сигнал .

Если система устойчива, то на выходе установятся колебания с той же частотой, но другой амплитудой и фазой .

Вычислим производные от этих сигналов:

…………………………………………….

Для выходного сигнала:

………………………………………..

Подставим полученные выражения в исходное выражение (1) и (2):

Подобное преобразование уравнения (1) может быть получено также с помощью интегрального преобразования Фурье: .

Функция W(j) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или комплексно-частотной характеристикой (КЧХ). Для любых значений частоты  функция W(j) представляет собой вектор на комплексной плоскости, модуль которого равен , а аргумент равен углу сдвига фазы выходного сигнала относительно входного.

При изменении  от - до + вектор будет поворачиваться на комплексной плоскости. Траектория конца вектора (годографа) представляет собой графический образ АФХ.

Выводы:

1. Аналитическое выражение АФХ формально может быть получено из ПФ подстановкой вместо p j.

2. АФХ может быть построена экспериментально:

   1. подаем на вход sin-й сигнал ;

   2. измеряем на выходе установившееся значение выходного сигнала А_вых и ₁;

   3. вычисляем модуль АФХ и строим 1-ю точку АФХ

4. повторяя опыт для других частот ₁, ₂, … строим другие точки.

5. соединяем точки плавной кривой.

Как любая комплексная функция АФХ может быть записана в показательной и алгебраической формах:

А() – АФХ - зависимость отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала от частоты.

() – ФЧХ – фазовая частотная характеристика – зависимость угла сдвига фазы выходного сигнала от частоты.

P() – вещественная частотная характеристика ВЧХ.

Q() – мнимая частотная характеристика МЧХ.

Передаточные функции основных соединений звеньев

В системах автоматического управления звенья могут находиться в самых различных сочетаниях. Однако систему любой сложности всегда можно рассматривать как совокупность трех видов соединений элементарных звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединений (с обратной связью).

1. Последовательное соединение.

Последовательное соединение – это такое соединение звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего.

Для данного рисунка x_вых1=х_вх2, х_вых2=х_вх3

По определению ПФ:

Для каждого звена можем записать:

Учитывая, что x_вых1=х_вх2, х_вых2=х_вх3 исключаем из уравнений промежуточные переменные:

Отсюда, ПФ последовательных звеньев:

Вывод: передаточная функция группы последовательно соединенных звеньев равна произведению отдельных звеньев.

2. Параллельное соединение звеньев.

Параллельным называют соединение звеньев, при котором входные воздействия всех звеньев одинаковы, а их выходные сигналы алгебраически суммируются.

Для данного рисунка x_вх1(p)=х_вх2(p)=х_вх3(p)=х_вх(p)

x_вых(p)=х_вых1(p)+х_вых2(p)+х_вых3(p)

Для каждого звена можем записать:

откуда

Вывод: передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равна сумме отдельных звеньев.

3. Встречно-параллельное соединение звеньев с обратной связью.

Встречно-параллельным называется такое соединение звеньев, при котором выходная величина звена подается обратно на его вход через другое звено. Часто такое соединение называют соединением с обратной связью (ОС). При этом звено в прямой цепи называется звеном, охваченным обратной связью, а звено, стоящее в цепи обратной связи – звеном ОС. Сигнал с выхода звена ОС может складываться или вычитаться с входным сигналом. Соответственно, ОС называется положительной или отрицательной.

x_вх1(p)=х_вх(p)х_ос(p)

Для каждого звена можем записать:

Нужно исключить переменные х_вх1 и х_ос

Умножаем левую и правую часть на W₁(p)

или

Частный случай: - единичная обратная связь.

Приведем систему с неединичной обратной связью к этому виду: