Математическое описание импульсных (цифровых) замкнутых систем регулирования

Импульсные системы – это системы, у которых сигналы квантованы по времени. Квантование бывает по уровню и по времени (например электронные часы). Впервые такие системы появились в радиолокационных станциях в годы войны.

=0Т (Чем меньше значение Т - периода дискретизации, тем ближе импульсная система к аналоговой).

Особенности импульсных систем:

1. Импульсные системы исследуются специальным математическим аппаратом.

2. Применяются при использовании микро-ЭВМ (если их исследовать учитывая квантование, то можно получить лучшее качество системы).

Цифровыми называются системы, в которых имеет место квантование сигналов и по времени и по уровню. При математическом описании систем, в которых применяется цифровой регулятор, выполненный в виде микропроцессорного контроллера или управляющей ЭВМ, квантованием по уровню сигналов из-за достаточно высокой разрядности можно пренебречь. В то же время квантование по времени является существенным фактором, влияющим на работу САУ. На рисунке представлена функциональная схема САУ с цифровым регулятором.

ЦР - цифровой (импульсный) регулятор,

Ц/А и А/Ц - цифро-аналоговый и аналого-цифровой преобразователи;

ОБ - объект регулирования;

Д - датчик;

ПУ - пульт управления (задающее устройство).

Т=const – период квантования

k - номер периода, t=0T, 1T, 2T, …, kT

t^*=t/T=0, 1, 2, …, k

x[k] – относительная величина

В период kT функции 1 и 2 имеют одно и тоже значение, но мы не знаем значения решетчатой функции в моменты времени между квантами. Значения импульсной функции постоянны на периоде Т, но ширина импульса может колебаться 0<=_и<=T.

Рассмотрим понятие производной по отношению к импульсным функциям.

Вообще говоря, понятие производной по отношению к импульсным системам некорректно (здесь нет и дифференциальных уравнений). Используются разностные уравнения:

(1)

(2) t_min=T

Запишем обобщенное разностное уравнение (n<=m):

(3)

 - некоторое конечное приращение функции (d за t0,  за t=Т).

Функция Диракка при t=0 (t)=

(t-kT), где k=0, 1, 2, …

при t=2T (t-2T)=

(4)

(5)=(4)

Значение функции равно , но площадь криволинейной трапеции имеет значение x(t).

Импульсные системы описываются с помощью дискретного преобразования Лапласа или Z-преобразования:

(6) – дискретное преобразование Лапласса

- непрерывное преобразование Лапласса

Обозначим (7) - Z-преобразование

Вывод дискретной передаточной функции:

(8)

1(t)h(t)

(t)(t)

(9)

(10)

Обозначим n-k=q и подвергнем выражение (10) дискретному преобразованию Лапласса:

(11) (12)

(13)

(14)

Импульсная передаточная функция определяется выражением (14), как сумма бесконечной арифметической прогрессии (прогрессия сходится, так как ).

На практике используют готовые таблицы дискретного преобразования.

Таблица 1. Z-преобразование функций времени.

x(t)	X(s)	x[nT]	X(z)
(t)	1	[nT]	1
1(t)	1/s	1[nT]	z/(z-1)
t	1/s^2	nT	Tz/(z-1)^2
	1/(s+)		z/(z-d) (d= )

Установившиеся режимы в САУ и

точность в установившемся режиме

Структурная схема одноконтурной САУ состоит из регулятора с передаточной функцией Wу(p), обьекта управления, описываемого передаточными функциями по управлению Wоу(p) и возмущению Wf(p) и датчика, передаточная функция которого Wд(p).

Рис.1 Структурная схема одноконтурной САУ

На объект действует управляющее Uy и возмущающее f воздействия. Выходная координата (сигнал) У преобразуется датчиком в сигнал обратной связи Uoc , который сравнивается с задающим сигналом Uз. С выхода узла сравнения снимается сигнал ошибки регулирования