Методические указания

Числовые характеристики суммы

Пусть , где – не случайные коэффициенты, тогда

– математическое ожидание Y равно

, (9.1)

где – математическое ожидание СВ X_i;

– дисперсия Y равно:

_, (9.2)

где – дисперсия СВ X_i ,

– корреляционный момент величин X₁ и X₂.

Если , – не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия величины Y равны

; (9.3)

. (9.4)

Числовые характеристики произведения

Пусть , где – не случайный коэффициент, то математическое ожидание Y равно:

; (9.5)

где – математическое ожидание СВ X_i ,

– корреляционный момент величин X₁ и X₂.

Если , то математическое ожидание Y равно

; (9.6)

В случае независимых сомножителей и дисперсия может быть определена по формуле

. (9.7)

Если , где X_i – независимые случайные величины, то математическое ожидание и дисперсия Y равны

; (9.8)

. (9.9)

Примеры

Пример 9.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

Величины , , имеют следующие числовые характеристики:

Решение. Вычислим математические ожидания U и V по формуле (9.1):

Вычислим дисперсии D_U и D_V по формуле (9.2):

Рассчитаем корреляционный момент по формуле (8.10):

.

Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V :

Таким образом

Величину определим по формуле (8.11):

Контрольная работа №2. Математическая статистика Задача 10. Обработка одномерной выборки Условие задачи

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ² и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F₀(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 49 значений одномерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.

Методические указания

Генеральной совокупностью опыта называется множество объектов, из которых производится выборка. Выборка – множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка { }, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Оценка закона распределения

Эмпирическая функция распределения случайной величины X равна частоте того, что X примет значение меньшее, чем аргумент функции x, и определяется формулой

(10.1)

При эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции распределения .

Интервальный статистический ряд вероятностей строится по исходной выборке, если анализируемая случайная величина Х является непрерывной, и представляет собой следующую таблицу:

j	Aj	Bj	hj	j
1	A1	B1	h1	1
M	AM	BM	hM	M

Здесь j – номер интервала;

M – число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

(10.2)

где int(x) – целая часть числа x . Желательно, чтобы n без остатка делилось на M;

A_j, B_j – левая и правая границы j-го интервала ( – интервалы примыкают друг к другу), причем , ;

– длина j-го интервала;

 количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал,

– частота попадания в j-й интервал; .

– статистическая плотность вероятности в j-м интервале.

При построения интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы:

1) равноинтервальный, т.е. все интервалы одинаковой длины:

(10.3)

2) равновероятностный, т.е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы n без остатка делилось на M):

(10.4)

Гистограмма строится по интервальному статистическому ряду и представляет собой статистический аналог графика плотности вероятности случайной величины. Гистограмма – совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах h_j статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода – одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна 1.