Примеры

Пример 10.1. По вариационному ряду случайной величины X (n=100):

-6,237 -6,229 -5,779 -5,139 -4,950 -4,919 -4,636 -4,560 -4,530 -4,526 -4,523 -4,511 -4,409 -4,336 -4,259 -4,055 -4,044 -4,006 -3,972 -3,944 -3,829 -3,794 -3,716 -3,542 -3,541 -3,431 -3,406 -3,384 -3,307 -3,181 -3,148 -3,124 -3,116 -2,892 -2,785 -2,734 -2,711 -2,637 -2,633 -2,428 -2,381 -2,339 -2,276 -2,222 -2,167 -2,111 -2,034 -1,958 -1,854 -1,803 -1,774 -1,755 -1,745 -1,713 -1,709 -1,566 -1,548 -1,480 -1,448 -1,353 -1,266 -1,229 -1,179 -1,130 -1,102 -1,060 -1,046 -1,035 -0,969 -0,960 -0,903 -0,885 -0,866 -0,865 -0,774 -0,721 -0,688 -0,673 -0,662 -0,626 -0,543 -0,445 -0,241 -0,174 -0,131 0,115 0,205 0,355 0,577 0,591 0,795 0,986 1,068 1,099 1,195 1,540 2,008 2,160 2,534 2,848

- построить график эмпирической функции распределения ;

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова . График гипотетической функции распределения построить совместно с графиком в той же системе координат и на том же листе.

Решение. По формуле (10.1) построим график эмпирической функции распределения (рис. 10.4). Так как является неубывающей функцией и все ступеньки графика имеют одинаковую величину 1/n (или ей кратны – для одинаковых значений), то таблицу значений эмпирической функции распределения F*(x) можно не вычислять, а построить ее график непосредственно по и вариационному ряду, начиная с его первого значения (см. Пример 5.2. ).

Рис. 10.4 Графики эмпирической и гипотетической функций распределения

Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки ( см. формулу (10.2)):

Для равноинтервальной гистограммы величины h_j, A_j, B_j, рассчитаем по формуле (10.3) и заполним все колонки интервального статистического ряда (таб. 10.1):

Таблица 10.1

j	Aj	Bj	hj	j
1	-6,237	-5,3345	0,9085	3	0,03	0,033
2	-5,3345	-4,426	0,9085	9	0,09	0,099
3	-4,426	-3,5175	0,9085	13	0,13	0,143
4	-3,5175	-2,609	0,9085	14	0,14	0,154
5	-2,609	-1,7005	0,9085	16	0,16	0,176
6	1,7005	-0,792	0.9085	19	0,19	0,209
7	-0,792	0,1165	0,9085	12	0,12	0,132
8	0,1165	1,025	0,9085	6	0,06	0,066
9	1,025	1,9335	0,9085	4	0,04	0.044
10	1,9335	2,848	0,9085	4	0,04	0,044

Равноинтервальная гистограмма имеет вид, согласно рис. 10.5:

Рис. 10.5 Равноинтервальная гистограмма

Для равновероятностной гистограммы величины _j , , A_j, B_j, рассчитаем по формуле (10.4) и заполним все колонки интервального статистического ряда(таб. 10.2):

Таблица 10.2

j	Aj	Bj	hi	j
1	-6,2370	-4,5245	1,7125	10	0,1	0.0584
2	-4,5245	-3,8865	0,6380	10	0,1	0,1567
3	-3,8865	-3,1645	0,7220	10	0,1	0,1385
4	-3,1645	-2,4045	0,7600	10	0,1	0,1316
5	-2,4045	-1,7885	0,6160	10	0,1	0,1623
6	-1,7885	-1,3095	0,4790	10	0,1	0,2086
7	-1,3085	-0,9319	0,3766	10	0,1	0,2655
8	-0,9319	-0,5843	0,3476	10	0,1	0,2877
9	-0,5843	0,6932	1,2775	10	0,1	0,0783
10	0,6932	2,8480	2,1548	10	0,1	0,0464

Равновероятностная гистограмма имеет вид, согласно рис. 10.6:

Рис. 10.6 Равновероятностная гистограмма

Вычислим точечную оценку математического ожидания по формуле (10.5):

.

Вычислим точечную оценку дисперсии по формуле (10.6):

.

Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 по формуле (10.8). Для этого в таблице функции Лапласа (см. Приложение 2) найдем значение, равное = 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: (строка 1,9, столбец 6). Затем вычислим и получим доверительный интервал для математического ожидания:

.

Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95 по формуле (10.9). Вычислим и получим доверительный интервал для дисперсии:

.

По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины

– величина X распределена по нормальному закону:

,

– величина X не распределена по нормальному закону:

Определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического (нормального) закона распределения по формулам (10.16):

.

Таким образом, получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения (см. формулу (10.23)):

.

Проверим гипотезу о нормальном законе с помощью критерия .

Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда (см. таб. 10.1) по формуле (10.17):

Теоретические вероятности p_i попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда нормальной случайной величины с параметрами вычислим по формуле (10.24):

.

Значения функции Лапласа определяем с помощью таблицы, приведенной в Приложение 2. При использовании таблицы функции Лапласа следует учитывать, что . Результаты расчета можно свести в таблицу:

Таблица 10.3

j	Aj	Bj
1	-∞	-5,335	0	0,0336	0,0336	0,03	0
2	-5,335	-4,426	0,0336	0,0708	0,0372	0,09	0,0625
3	-4,426	-3,518	0,0708	0,1768	0,106	0,13	0,003636
4	-3,518	-2,609	0,1768	0,3228	0,146	0,14	0,000667
5	-2,609	-1,701	0,3228	0,5	0,1772	0,16	0,000588
6	1,7005	-0,792	0,5	0,6772	0,1772	0,19	0,000556
7	-0,792	0,1165	0,6772	0,8212	0,144	0,12	0,002857
8	0,1165	1,025	0,8212	0,9162	0,095	0,06	0,01
9	1,025	1,9335	0,9162	0,989	0,0728	0,04	0,012857
10	1,9335	+∞	0,989	1	0,011	0,04	0,02
				Сумма:	0,999	1	0,113661

Проверяем выполнение контрольного соотношения для :

В результате получаем .

Вычислим число степеней свободы по формуле (10.25) и по заданному уровню значимости  =0,05 из таблицы распределения (см. Приложение 4) выбираем критическое значение .

Так как то гипотеза о нормальном законе распределения принимается (нет основания ее отклонить).

Проверим гипотезу о нормальном законе с помощью критерия Колмогорова. Построим график в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения (см. рис 10.1). В качестве опорных точек для графика используем 10 значений из таб. 10.3.

По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями и (см. рис 10.1):

Вычислим значение критерия Колмогорова по формуле (10.26):

Из таблицы Колмогорова (см. Приложение 5) по заданному уровню значимости  =0,05 выбираем критическое значение

Так как , то гипотезу о нормальном законе распределения отвергать нет основания.