2. Średnia geometryczna

Średnią geometryczną nazywamy pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n wartości zmiennej.

Średnią geometryczna znajduje zastosowanie przy obliczeniach średniookresowego tempa zmian poziomu zjawiska w pewnym okresie (patrz: J. Jóźwiak, J. Podgórski, s. 493).

3. Średnia harmoniczna

Ogólny wzór na obliczenie średniej harmonicznej ma postać:

(Znajduje zastosowanie przy obliczeniach indeksów cen: patrz: J. Jóźwiak, J. Podgórski, s.501)

4. Wartość modalna (moda, dominanta)

Moda, zwana także dominantą, podobnie jak średnia arytmetyczna, jest charakterystyką średniego poziomu cechy

w populacji.

Przez modę rozumiemy taką wartość cechy, która występuje najczęściej w populacji, lub wokół której grupuje się największa liczba elementów populacji.

To alternatywne określenie mody wynika stąd, że wyróżnić trzeba dwie sytuacje przy posługiwaniu się tą cechą.

• Pierwsza, w której ilość wariantów cechy jest skończona i stosunkowo niewielka, oraz

• druga - gdy ilość wariantów cechy jest bardzo duża, bądź nieskończona.

W pierwszym przypadku moda odpowiada wariantowi o największej liczebności.

W drugim przypadku warianty cechy muszą być z natury zgrupowane w przedziały. Wówczas stwierdzamy, że wartość mody znajduje się w przedziale o największej liczebności, albo też staramy się w jakiś sposób oszacować dokładniej wartość mody.

Podamy niżej najprostszy sposób szacowania wartości mody.

Zakładając, że wszystkie przedziały mają jednakową długość, wtedy przedział z największą liczebnością zawiera wartość modalną.

Przez (x_d, x_d+1) oznaczymy przedział najliczniejszy, a więc zawierający modę, a przez n_d jego liczebność, tj. (x_d, x_d+1) Þ liczebność n_d

Oznaczając przez D długość przedziału, można otrzymać wzór na przybliżoną wartość mody Mo:

gdzie:

przedział (x_d-1, x_d) Þ liczebność n_d-1

przedział (x_d+1, x_d+2) Þ liczebność n_d+1.

Może wystąpić dwie lub więcej wartości cechy, wokół których powstają najliczniejsze zgrupowania jednostek populacji. Mówimy wtedy o rozkładzie dwu- lub wielomodalnym, z ewentualnym wskazaniem na te wyróżnione wartości cechy.

1. Mediana I kwartyle

MEDIANA

Mediana (zwana również wartością środkową) jest inną charakterystyką średniego poziomu cechy w populacji.

Gdybyśmy wszystkie elementy populacji uporządkowali wg. rosnącej wartości cechy, to przez medianę rozumiemy wartość cechy jednostki znajdującej się dokładnie w środku.

• Inaczej mówiąc mediana dzieli populację na dwie jednakowo liczne części. Do jednej z nich należą jednostki o mniejszych wartościach cech niż mediana, a do drugiej elementy populacji z większymi wartościami cechy.

• Gdy występuje parzysta liczba elementów populacji, wtedy mediana równa się średniej arytmetycznej dwóch elementów leżących najbliżej środka w uporządkowanej populacji.

• Jeśli w szeregu statystycznym warianty cechy nie są przedstawione pojedynczymi wartościami, lecz przedziałami, wówczas można tylko stwierdzić, w którym przedziale znajduje się mediana, względnie oszacować jej wartość za pomocą odpowiedniego wzoru:

gdzie: x_p oznacza dolną granicę przedziału, w którym znajduje się mediana,

(p-1) to kolejny numer przedziału poprzedzającego bezpośrednio przedział z medianą,

D to długość przedziału, w którym znajduje się mediana,

n_p - liczebność przedziału, w którym znajduje się mediana.

Mediana należy do średnich, które nazywamy pozycyjnymi. Nazwa ta wynika stąd, że jako charakterystykę średniego poziomu cechy przyjmujemy wartość cechy tego elementu populacji, który znajduje się na określonej pozycji w uporządkowanym szeregu jednostek według rosnących wartości cechy.

(Istnieją też inne charakterystyki pozycyjne, a niektóre z nich omówimy dalej.)