6.1. Asymetria I jej miary

Kolejna grupa parametrów rozkładu empirycznego stanowią charakterystyki opisujące asymetrię rozkładu.

Rozpoczniemy od symetryczności rozkładu. Mówimy, że rozkład empiryczny jest symetryczny, jeśli każdej wartości cechy

odpowiada wartość taka, że: .

Rozkład empiryczny jest wiec symetryczny, jeśli liczebności (częstości) układają się identycznie dla wartości cechy jednakowo odległych (poniżej i powyżej) od środka symetrii, jakim jest średnia arytmetyczna. W przeciwnym przypadku mówimy, że rozkład empiryczny jest asymetryczny (skośny).

Na asymetrię rozkładu wskazuje tzw. trzeci moment centralny, definiowany jako średnia arytmetyczna trzecich potęg odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej:

Dla danych pogrupowanych wzór ten przyjmuje postać:

Trzeci moment centralny przyjmuje wartości ujemne dla rozkładu o asymetrii lewostronnej (wydłużone lewe ramię rozkładu), dodatnie dla rozkładu o prawostronnej asymetrii.

Klasyczną miarą stopnia i kierunku asymetrii rozkładu empirycznego jest współczynnik asymetrii A, otrzymany w wyniku podzielenia trzeciego momentu centralnego przez odchylenie standardowe podniesione do trzeciej potęgi:

(W rozkładach jednomodalnych bezwzględna wartość współczynnika A rzadko przekracza 2.)

4Inne współczynniki asymetrii

Ze względu na dużą pracochłonność obliczeń współczynnika A, w praktyce przy analizie asymetrii rozkładu korzysta się z prostszych miar.

1. Najczęściej stosowaną miarą jest współczynnik skośności A₁, dla którego podstawą jest różnica między średnią i dominantą podzielona przez odchylenie standardowe:

Stwierdzono, że jedynie w przypadkach bardzo silnej asymetrii bezwzględna wartość współczynnika A₁ przekracza wartość 1.

2. Rzadziej stosowaną miarą asymetrii jest pozycyjny współczynnik asymetrii, zdefiniowany za pomocą kwartyli. Przyjmuje on następującą postać:

gdzie Q jest odchyleniem ćwiartkowym.

Koncentracja I jej mierzenie

Przez koncentrację rozumie się nierównomierne rozdysponowanie łącznej sumy wartości cechy w badanej zbiorowości pomiędzy jednostki tworzące tę zbiorowość.

• Zupełny brak koncentracji występuje wtedy, kiedy każda jednostka dysponuje taką samą częścią ogólnej sumy wartości cechy, co oznacza równocześnie brak zróżnicowania, gdyż wszystkie jednostki mają taką samą wartość cechy.

• Natomiast skrajnym przypadkiem koncentracji jest sytuacja, kiedy całą sumą wartości cechy dysponuje tylko jedna jednostka zbiorowości.

Oznacza to, że stopień koncentracji można ocenić przez porównanie częstości występowania jednostek w różnych przedziałach wartości cechy z udziałem wartości cechy w poszczególnych przedziałach w łącznej wartości cechy.

W celu wyznaczenia miary służącej do oceny stopnia koncentracji, skorzystamy z graficznej prezentacji za pomocą wieloboku (krzywej) koncentracji Lorenza.

(Wielobok ten wyznacza się jako linię łamaną, powstałą z połączenia punktów, których współrzędnymi są skumulowane częstości względne jednostek oraz skumulowane częstości względne wartości cechy).

Jeśli występuje brak koncentracji, to wszystkie punkty leżą na przekątnej OF. Natomiast jeśli występuje skrajna koncentracja, tzn. całą sumą wartości cechy dysponuje tylko jedna jednostka zbiorowości, to wszystkie punkty układają się na osi odciętych – oprócz ostatniego, który ma współrzędne (1, 1). W pozostałych przypadkach punkty te układają się w trójkącie OEF i wielobok koncentracji położony jest poniżej przekątnej.

Im bliżej linii łamanej OEF przebiega zatem wielobok koncentracji, tzn. im większe jest pole T, tym koncentracja jest silniejsza.

Oznacza to, że miarą siły koncentracji może być udział powierzchni pola T w polu trójkąta OEF.

Ponieważ pole trójk¹ta OEF wynosi ½, jako miarę koncentracji można przyjąć wielkość:

K = 2T = 1-2P

Miarę tą nazwano współczynnikiem Giniego.

Współczynnik Giniego przyjmuje wartość 0 w przypadku braku koncentracji oraz 1 w przypadku zupełnej koncentracji, tj. 0 = K=1.