ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

Закон Кулона. Электростатическое поле. Его напряженность и потенциал.

Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса.

Напряженность и потенциал полей заряженных тел

Определение вектора напряженности, потенциала и разности потенциалов:

Формулы связи между напряженностью и потенциалом:

Формулы расчета вектора напряженности и потенциала электростатического поля точечного заряда:

Постоянная :

Принцип суперпозиции:

Электрический момент диполя, потенциал поля диполя:

Вектор напряженности поля диполя:

Вдоль оси диполя:

Момент сил, действующих на диполь:

Сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле:

Теорема Гаусса:

Электростатическое поле можно изображать силовыми линиями или вектором напряженности.

Силовые линии должны обязательно начинаться на положительно заряженных телах и заканчиваться на отрицательно заряженных телах. При отсутствии на рисунке отрицательно заряженных тел силовые линии на рисунке обрываются, заканчиваясь стрелками. При отсутствии на рисунке положительно заряженных тел силовые линии на рисунке начинаются в произвольных местах. Во всех случаях силовые линии должны дать полное представление об электростатическом поле.

Вектор напряженности электростатического поля обязательно должен начинаться в той точке, о которой идет речь в конкретной задаче.

8. Два точечных заряда и находятся на расстоянии 20 см. Найдите, на каком расстоянии от положительного заряда напряженность электрического поля равна нулю.

Решение.

Каждый из зарядов создает во всем пространстве свое электрическое поле. В каждой точке пространства складываются два вектора напряженности. В результате сложения этих векторов нулевой вектор может получиться только в случае равенства

То есть когда оба вектора направлены по одной прямой в противоположные стороны и равны по величине. Такое может быть только на прямой, проходящей через оба заряда.

Силовые линии направлены влево и вправо от первого положительного заряда и вправо и влево ко второму отрицательному заряду. Между зарядами силовые линии обоих полей направлены в одну сторону. Слева от положительного заряда и справа от отрицательного заряда силовые линии обоих полей направлены в разные стороны. Но второй отрицательный заряд по величине больше, и справа от него его поле окажется сильнее поля положительного заряда. Значит, искомая точка находится слева от положительного заряда.

Обозначим через расстояние между зарядами, а через расстояние от искомой точки до положительного заряда. В искомой точке должно выполняться равенство

1 2

Используем формулу для модуля вектора напряженности поля точечного заряда

Имеем

Согласно условию

и после упрощения

а после извлечения квадратного корня

9. Два точечных заряда и находятся на расстоянии 60 см друг от друга. Найдите расстояния от точек, где потенциал электрического поля равен нулю, до заряда .

Решение.

Каждый из зарядов создает во всем пространстве свое электрическое поле. В каждой точке пространства складываются положительный потенциал поля первого положительного заряда и отрицательный потенциал поля второго отрицательного заряда:

Но второй заряд по модулю больше, и сумма потенциалов может оказаться равной нулю вблизи первого заряда. И таких точек бесчисленное множество.

Используем формулу потенциала поля точечного заряда

В нашем случае

Согласно условию

Используем теорему косинусов:

Все искомые точки находятся на синем овале, изображенном на рисунке. На прямой, проходящей через данные заряды, имеются две точки:

26. Три больших параллельных пластины, заряженных с одинаковой поверхностной плотностью заряда, находятся на близких расстояниях друг от друга. Найдите, во сколько раз модуль напряженности электрического поля вне пластин больше модуля напряженности поля в пространстве между соседними пластинами. Нарисуйте график модуля , считая ось перпендикулярной к пластинам.

Решение.

Каждая из пластин создает в пространстве слева и справа от себя поле с одинаковой по модулю напряженностью, равной

Силовые линии электростатического поля от каждой пластины расходятся влево и вправо.

Данные четыре пластины делят пространство на четыре части: I, II, III и IV. В первой части пространства (слева вне пластин) все линии направлены влево, и все три модуля складываются. В четвертой части пространства (справа вне пластин) все линии направлены вправо, и все три модуля также складываются.

Во второй части пространства (между пластинами) два вектора направлены влево и один вправо. В третьей части пространства (между пластинами) два вектора направлены вправо и один влево.

Модуль напряженности электрического поля вне пластин больше модуля напряженности поля в пространстве между соседними пластинами в

48. Тонкая прямая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью заряда = 0,1 мкКл/м. Найдите потенциал поля нити на расстоянии одного метра от нее, приняв потенциал равным нулю на расстоянии = 50 см от нити.

Решение.

Используем формулу напряженности поля равномерно заряженной нити и формулу связи потенциала с напряженностью:

Имеем

Найдем постоянную с учетом условия

откуда

60. Тонкий диск радиусом 10 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью заряда = 17,7 нКл/м². Найдите потенциал в центре диска, считая потенциал на бесконечности равным нулю.

Решение.

При условии о равенстве нулю потенциала на бесконечности потенциал в центре диска можно вычислить путем интегрирования, разбив диск на точечные заряды. Это разбиение произведем следующим образом: разрежем диск на кольца с радиусами r и толщиной dr. Затем разрежем диск на секторы с центральным углом dα.

Точечный заряд будет равен

Интегрирование произведем по радиусу от 0 до R и по углу от 0 до 2π:

62. Электрическое поле создано длинным сплошным цилиндром радиусом = 1 см, равномерно заряженным с объемной плотностью заряда = 1,77 мкКл/м³. Найдите модуль разности потенциалов между точкой, лежащей на поверхности цилиндра, и точкой, находящейся на расстоянии от поверхности цилиндра, равном 4,5 его диаметра.

Заряд расположен симметрично относительно оси цилиндра. Электрическое поле также симметрично относительно оси цилиндра.

Силовые линии электрического поля направлены во все стороны от оси цилиндра перпендикулярно этой оси. Во всех точках, удаленных от оси цилиндра на одинаковое расстояние, напряженность электрического поля одинакова по модулю.

Решение.

В нашем случае можно использовать теорему Гаусса для нахождения зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра:

именно потому, что вычислить поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность можно без интегрирования.

Построим вокруг нашего заряженного цилиндра цилиндрическую боковую поверхность с радиусом и с высотой . Ось этой поверхности совпадает с осью заряженного цилиндра. Закроем поверхность сверху и снизу кругами с тем же радиусом . В этом случае поток напряженности электрического поля через верхнее и нижнее основания построенной замкнутой поверхности равен нулю, потому что все векторы лежат в плоскостях этих оснований. Во всех точках боковой поверхности векторы перпендикулярны этой поверхности и одинаковы по модулю. Модуль вектора можно вынести за знак интеграла.

Поток напряженности электрического поля через всю замкнутую поверхность будет равен потоку напряженности электрического поля через боковую поверхность:

Заряд, который окажется внутри этой замкнутой поверхности между верхним и нижним основаниями построенного цилиндра, будет равен

Имеем

откуда

Теперь используем формулу связи между напряженностью и разностью потенциалов электрического поля:

откуда получим искомую разность потенциалов:

Электроемкость

Зарядом конденсатора называют заряд его положительно заряженной пластины. Разность потенциалов между пластинами заряженного конденсатора называют также напряжением на конденсаторе.

Емкость уединенного проводника и конденсатора:

Емкость плоского конденсатора:

Емкость цилиндрического конденсатора:

Емкость сферического конденсатора:

Зарядку конденсатора и батареи конденсаторов можно осуществить при подключении их к источнику постоянного напряжения.

1 2 3 4

На левом рисунке показано последовательное соединение двух конденсаторов. Вся система состоит из двух проводников. Первый из них начинается с пластины 1 левого конденсатора, содержит источник тока и заканчивается пластиной 4 правого конденсатора. Второй проводник начинается с пластины 2 левого конденсатора и заканчивается пластиной 3 правого конденсатора. Этот второй проводник изолирован от первого.

Источник тока переносит положительный заряд с пластины 4 на пластину 1. Так на пластине 1 возникает положительный заряд , а на пластине 4 возникает отрицательный заряд . Во втором проводнике происходит разделение зарядов. Под действием электрического поля пластин 1 и 4 на пластине 2 возникает отрицательный заряд , а на пластине 3 возникает положительный заряд . Суммарный же заряд второго проводника остается таким же, что и до зарядки. В нашем случае суммарный заряд второго проводника равен нулю.

Таким образом, на каждом из последовательно соединенных конденсаторов оказывается один и тот же заряд, а сумма напряжений на всех конденсаторах равна эдс источника тока. При этом складываются обратные емкости:

На правом рисунке показано параллельное соединение двух конденсаторов. Вся эта система состоит из одного проводника, который начинается с левых пластин обоих конденсатора, содержит источник тока и заканчивается правыми пластинами обоих конденсаторов.

Источник тока переносит положительный заряд с правых пластин обоих конденсаторов на их левые пластины. На двух левых пластинах возникает положительный заряд , а на правых пластинах возникает отрицательный заряд . Зарядка происходит, пока на обоих конденсаторах не установится одинаковое напряжение, равное эдс источника тока.

Таким образом, каждый из параллельно соединенных конденсаторов оказывается под одним и тем же напряжением, а заряд всей системы равен сумме зарядов на каждом из конденсаторов:

67. В плоском воздушном конденсаторе, не изменяя площадей пластин, уменьшили расстояние между ними на 20 % ( ), а затем заполнили пространство конденсатора диэлектриком. В результате этих действий емкость конденсатора увеличилась в четыре раза ( ). Найдите диэлектрическую проницаемость этого диэлектрика.

Решение.

Начальная емкость конденсатора равна

после изменений емкость конденсатора равна

Согласно условию

или

откуда .

68. Три конденсатора с емкостями , и соединили один раз последовательно, другой раз – параллельно. Найдите, во сколько раз заряд этой системы конденсаторов при параллельном соединении больше, чем при последовательном соединении, если система подключается к одному и тому же источнику напряжения.

Решение.

Найдем емкость системы при последовательном соединении:

Теперь найдем заряд батареи:

При параллельном соединении:

Найдем искомое отношение:

70. Имеются два заряженных воздушных конденсатора с пластинами в виде круглых дисков. Один конденсатор имеет заряд в 2,25 раз больше, чем другой ( ), но напряжение на нем в 4 раза меньше ( ). Найдите отношение радиуса пластин первого конденсатора к радиусу пластин второго конденсатора. Расстояния между пластинами конденсаторов одинаковы.

Решение.

Напряжение на конденсаторе равно:

Отношение напряжений равно:

откуда

75. Имеется 4 разных конденсатора, заряженных зарядами по 0,025 мкКл. Последовательно соединены по два конденсатора, одна пара – конденсаторы с емкостями 1 пФ и 3 пФ, другая пара – 2 пФ и 4 пФ. Затем эти пары соединили параллельно. Найдите напряжение, установившееся на этой системе конденсаторов.

Решение.

Имеем для первой пары:

для второй пары:

При параллельном соединении емкости складываются:

На каждом конденсаторе находится заряд = 0,025 мкКл. Заряд всей батареи будет равен . Напряжение на этой системе конденсаторов будет равно

77. К конденсатору емкостью 0,2 мкФ, заряженному до напряжения 100 В, параллельно подсоединили конденсатор емкостью 0,3 мкФ, заряженный до напряжения 50 В. Найдите, какой заряд перешел при этом соединении с одного конденсатора на другой.

Решение.

Начальные заряды обозначим и , а начальные напряжения – и . Эти начальные заряды будут равны

При параллельном соединении конденсаторов складываются их заряды и емкости. Напряжения при этом на каждом конденсаторе оказываются одинаковыми, а заряды – разными. Имеем

Это напряжение будет равно

Теперь найдем значения новых зарядов на обоих конденсаторах:

Следовательно, заряд первого конденсатора уменьшился, а второго увеличился на

то есть с первого конденсатора на второй перешел заряд, равный .

73. Два плоских конденсатора имеют одинаковые заряды ( ). Емкость одного конденсатора в два раза больше емкости другого ( ) и расстояние между пластинами у него в 1,5 раза больше ( ). Найдите отношение напряженностей электрических полей у этих конденсаторов.

Решение.

Напряженность электрического поля в конденсаторе по модулю

равна отношению напряжения на нем к расстоянию между пластинами конденсатора:

Имеем

74. Пять одинаковых воздушных конденсаторов соединены последовательно. После заполнения двух из них одним и тем же диэлектриком емкость системы увеличилась в 1,5 раза ( ). Найдите диэлектрическую проницаемость этого диэлектрика.

Решение.

При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные емкости. До заполнения имеем

После заполнения –

Согласно условию

откуда