Доказательство в терминах потенциала

Рассмотрим один из точечных зарядов в поле остальных и покажем, что он, если и находится в равновесии, то только в неустойчивом. (Будем называть этот заряд выделенным).

Предположим, что выделенный заряд находится в равновесии (противоположный случай не интересен).

Потенциал, создаваемый остальными зарядами в окрестности нашего выделенного, подчиняется уравнению Лапласа (если только какой-то из этих остальных зарядов не совпадает по положению с положением выделенного заряда, что исключено формулировкой теоремы), поскольку это электростатическое поле, а в данной области пространства отсутствуют его источники (другие заряды).

Уравнение Лапласа

имеет своим следствием утверждение:

• или одна вторая производная потенциала ϕ по какой-то из координат — x, y или z (то есть одно из трех слагаемы в левой части) меньше нуля,

• или все три равны нулю.

В первом случае, очевидно, что потенциал не имеет экстремума в данной точке, а значит, его не имеет тут и потенциальная энергия выделенного заряда, то есть его равновесие неустойчиво.

Второй случай распадается на два варианта: 1. Если все три вторые производные потенциала равны нулю не только в точке, но и в ее конечной окрестности (а первые производные в самой точке равны нулю по предположению равновесия), то потенциал в этой окрестности есть константа и мы имеем, очевидно, случай безразличного равновесия, то есть это не есть равновесие устойчивое. Можно показать, что для случая конечного количества дискретных точечных источников этот вариант вообще не реализуется.

2. Если все три вторые производные потенциала равны нулю только в единственной точке (т. н. точка уплощения), то можно показать, что:

• она всё равно не является точкой экстремума,

• сам этот случай не может реализоваться для любого из зарядов в качестве выбранного, например, не реализуется для крайних зарядов, для которых вторые производные потенциала всегда не равны нулю.

Таким образом, мы привели тут доказательство достаточно полно для первого случая (случая общего положения) и только наметили вопросы, возникающие в некоторых особых случаях, и ответы на них.

Приходится признать, что, наверное, проще всего доказательство этих ответов получается всё-таки применением подхода, прямо опирающегося на теорему Гаусса.

Применение

Теорема Ирншоу исторически сыграла важную роль в теории строения атома — предположения об атоме как о системе статических зарядов были на ее основании отвергнуты, и для объяснения устойчивости атома была введена планетарная модель атома.

Питання

1. В каком веке теорема была создана?

2. Формулировка теоремы.

3. Доказательство.

4. Доказательство в терминах напряженности поля.

5. Доказательство в терминах потенциала.

6. Уравнение Лапласа.

7. Применение теоремы.

8. Строения атома

9. Модель атома

10. Устойчивости атома

Напруженість електричного поля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Напру́женість електри́чного по́ля — це векторна фізична величина, яка дорівнює силі, яка діє у даній точці простору у даний момент часу на пробний одиничний електричний заряд у електричному полі.

де   — сила, q — електричний заряд,   — напруженість електричного поля.

В системі СІ вимірюється у В/м, на практиці здебільшого у В/см.

Рівняння Максвелла

Вектор напруженості електричного поля входить в рівняння Максвелла.

Друге рівняння Максвелла

гласить, що джерелом електричного поля може бути змінне магнітне поле.

Поведінка на розривній границі

У випадку різкої границі між середовищами вектор напруженості електричного поля не може бути визначений із диференційних рівнянь Максвелла, оскільки при розривах у полях похідні невизначені. В такому випадку використовуються граничні умови. Щодо напруженості електричного поля гранична умова Максвелла вимагає тангенційних складових цього вектора.

.

Тут індекси вгорі характеризують середовища.

На поверхні ідеального провідника тангенціальна складова вектора напруженості електричного поля дорівнює нулю.

Нормальна складова напруженості електричного поля в загальному випадку неперервною не є. Неперерервність зберігає нормальна складова вектора електричної індукції.

Робота на неоднорідній ділянці електричного поля

Вища і процеси, пов’язані з рухом електричних зарядів, становлять особливу частину вчення про електрику – електродинаміку.

Електричним струмом називають всякий упорядкований рух електричних зарядів. Електричний струм, який виникає у провіднику внаслідок того, що в ньому створюється електричне поле, називається струмом провідності.

Під час руху електричних зарядів порушується їхній рівномірний розподіл; поверхня провідника вже не є еквіпотенціальною поверхнею. Всередині провідника повинно бути електричне поле. Переміщення електричних зарядів – електричний струм – продовжується доти, доки всі точки провідника не будуть еквіпотенціальними.

Для появи й існування електричного струму треба, щоб виконувалися дві умови:

перша – наявність у даному середовищі вільних електричних зарядів. Такими зарядами в металах є електрони провідності; у газах – позитивні іони й електрони;

друга – наявність у даному середовищі електричного поля, енергія якого витрачалась б на переміщення електричних зарядів.

Щоб струм був тривалим, енергія електричного поля повинна весь час поповнюватись, тобто потрібен такий пристрій, в якому би певний вид енергії безперервно перетворювався в енергію електричного поля. Такий пристрій називається джерелом електрорушійної сили, або джерелом струму.

.

Якщо сила струму і його напрямок з часом не змінюються, то струм називається постійним. Тоді

.

Звідси .

Щоб струм був постійний, треба, щоб в кожній частині провідника заряди не нагромаджувались і не зникали. Тому коло постійного струму повинно бути замкненим.

Для характеристики розподілу електричного струму по перерізу провідника вводять вектор густини струму  .

Вектор   напрямлений вздовж струму і числово дорівнює силі струму, який проходить через одиницю площі перерізу провідника, який проведений перпендикулярно до напрямку струму: .

Повна сила струму у провіднику

.

Виразимо силу і густину струму через швидкість   впорядкованого руху зарядів у провіднику. За час dt через поперечний переріз S переноситься заряд    . Сила струму

,

отже, густина струму:

.

У джерелі електрорушійної сили на електрони повинні діяти сили неелектростатичного походження, які називаються сторонніми.

.

Стороння сила  , що діє на заряд q, дорівнює:

.

Робота сторонніх сил над зарядом q на замкненій ділянці кола дорівнює

 .

Тоді

 ..

ЕРС, яка діє на ділянці 1–2, дорівнює:

.

Результуюча сила, що діє в колі на заряд q:

.

Робота, яка виконується результуючою силою над зарядом   на ділянці 1–2, дорівнює

Напругою U₁₂ на ділянці 1–2 називається фізична величина, що визначається роботою, яка виконується сумарним полем електростатичних і сторонніх сил при переміщенні одиничного позитивного заряду на даній ділянці кола. Отже,

.

Поняття напруги є узагальненням поняття різниці потенціалів: напруга на кінцях ділянки кола дорівнює різниці потенціалів в тому випадку, якщо на цій ділянці не прикладена ЕРС.

Ділянка кола, на якій на носії струму діють сторонні сили, називається неоднорідною. Ділянка кола, на якій не діють сторонні сили, називається однорідною. Для однорідної ділянки кола

.

Німецький фізик Ом експериментально встановив, що сила струму I, що тече по однорідному металевому провіднику, пропорційна до напруги U на кінцях провідника:

,

де R – електричний опір провідника. Це рівняння виражає закон Ома для однорідної ділянки кола.

Одиниця опору – Ом: Ом – опір та- кого провідника, в якому при напрузі 1В тече струм силою 1А.

Величина   – електрична про- відність провідника.

Опір провідника залежить від його розмірів і форми, а також від матеріалу, з якого виготовлений провідник.

Для однорідного провідника опір R прямо пропорційний до його довжини   і обернено пропорційний до площі його поперечного перерізу S:

,

де   – питомий опір.

Математичний вираз закону Ома для неоднорідної ділянки кола має такий вигляд:

Силу струму треба розглядати як алгебраїчну величину. Якщо струм тече по ділянці кола від перерізу 1 до перерізу 2, то  , якщо струм тече в протилежному напрямку, то 

ЕРС   є теж величиною алгебраїчною. У випадку, коли ЕРС сприяє руху позитивних носіїв струму у напрямку 1–2, то  , якщо ЕРС перешкоджає руху позитивних носіїв у цьому напрямку, то   (рис. 95).

Якщо електричне коло замкнене, то точки 1 і 2 збігаються, тому   і  , де  загальний опір кола.

Тому закон Ома для замкненого кола має такий вигляд:

де  алгебраїчна сума всіх електрорушійних сил, прикладених у цьому колі.

Нехай замкнене електричне коло складається із джерела струму з ЕРС   і внутрішнім опором   і зовнішньої частини, яка має опір  .

Тоді

Якщо коло розімкнуте, то    Це означає, що ЕРС, прикладена до розімкнутого кола, дорівнює різниці потенціалів на кінцях цього кола.

Розглянемо однорідний провідник, до якого прикладена напруга U. За час dt через переріз провідника переноситься заряд  . Оскільки струм представляє переміщення зарядуdq під дією електричного поля, то робота струму

.

Потужність струму:

.

Якщо струм проходить по нерухомому металевому провіднику, то вся робота струму йде на його нагрівання і за законом збереження енергії.