Площі попередників озимої пшениці, га

Варіанти (за передостанньою цифрою шифру, Р)	Попередники
	Ярі зернобобові	Кукурудза на зел. корм	Багаторічні трави	Насінники багат. трав
	S1	S2	S3	S4
0	300	300	350	50
1	300	250	400	50
2	200	200	500	100
3	400	100	400	100
4	250	350	300	100
5	400	270	250	80
6	350	250	350	50
7	300	210	450	40
8	300	200	350	150
9	250	340	350	60

Таблиця 4.2

Площа сортів озимої пшениці, га

Варіанти (за останньою цифрою шифру, К)	Сорти озимої пшениці
	Тіра	Одеська 267	Донецька 48
	D1	D2	D3
0	350	450	200
1	450	300	250
2	400	500	100
3	350	400	250
4	300	250	450
5	350	350	300
6	150	400	150
7	200	400	400
8	350	300	350
9	450	350	200

Таблиця 4.3

Середня урожайність озимої пшениці за попередниками, ц з 1 га

Попередники				Сорти озимої пшениці
					Тіра		Одеська 267		Донецька 48
						D1		D2		D3
Ярі зернобобові		S1			47		48		49
Кукурудза на зелений корм		S2			44		47		48
Багаторічні трави		S3			52		56		51
Насінники багаторічних трав		S4			50		56		48

Завдання 5. Задачі нелінійного програмування

Методика виконання завдання

Якщо в економіко-математичній моделі цільова функція представлена нелінійними диференційованими функціями, а обмеження лінійні, то для розв’язання таких задач застосується метод множників Лагранжа.

Нехай

Z_ext = f (x₁, x₂, … , x_j, …, x_n)

при обмеженнях:

g_i (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n) = b_i, , i(1,m), j(1,n).

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження більш складної функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і записується так: L (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n, ₁, ₂, …, _i, …, _n) = f (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n) + [b_i – g_i (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n)],

де _i – множники Лагранжа.

Знайшовши частинні похідні функції L за кожною з невідомих і прирівнявши їх до нуля, запишемо систему:


	L / xj	j(1,n)
	L / i	i(1,m)

	f (x1, x2,…, xj,…, xn)/xj+ (gi (x1,x2,…,xj, …, xn)/xj)	j(1,n)
	bi – gi (x1, x2, …, xj, …, xn)=0	i(1,m)

Розв’язавши цю систему, знаходимо стаціонарні точки:

x* = (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n) та  * = (₁, ₂, …, _i, …, _n).

Для визначення типу екстремуму необхідно дослідити в околі стаціонарних точок диференціали другого порядку (якщо для функцій Z_ext = f (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n), g_i (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n) існують другі частинні похідні і вони неперервні ).

Для цього за функцією Лагранжа будується матриця Гессе, яка має блочну структуру розмірністю (m+n) х (m+n), де n – кількість невідомих задачі, а m –кількість обмежень:

O P

H =

P¹ Q

де O - нульова матриця розмірністю mхm,

P - матриця розмірністю mхn, елементи якої визначаються так:

 g₁ (x) / x_{1 …} g₁ (x) / x_n

Р = … … …

g_m (x) / x_{1 ….} g_m (x) / x_n

P¹ - транспонована матриця до матриці Р розмірністю nхm,

Q - матриця розмірністю nхn виду

Q = ² L(x, ) / x_i x_j , де i(1,m) , j(1,n).

Стаціонарна точка Х^* з координатами x* = (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n) та

 * = (₁, ₂, …, _i, …, _n) має такі ознаки екстремуму:

1. Якщо починаючи з головного мінору порядку (m+1), наступні (n-m) головних мінорів матриці Гессе утворюють знакозмінний числовий ряд, знак першого члена якого визначається множником (-1)^m+1, то точка Х^* є точкою максимуму.

2. Якщо починаючи з головного мінору порядку (m+1), знак наступних

(n-m) головних мінорів матриці Гессе визначається множником ( -1)^m, то точка Х^* єточкою мінімуму.

Приклад 5.1. Розв’язати за методом множників Лагранжа:

Z = 4 x₁² + 5 x₂²

при обмеженнях:

1) x₁ + x₂ = 9

2. x₁ 0; x₂ 0

Розв’язання. Запишемо функцію Лагранжа

L (x₁, x₂, ) = 4 x₁² + 5 x₂² +  (9 - x₁ - x₂)

Прирівнявши до нуля частинні похідні цієї функції, отримаємо систему рівнянь:

L / x₁ = 8x₁ -  = 0;  = 8x₁

L / x₂ = 10x₂ -  = 0;  = 10x₂

L /  = 9 - x₁ - x₂ = 0

Тоді 8x₁ = 10x₂, а x₁ = 5/4 x₂.

Підставивши x₁ у рівняння 9 - x₁ - x₂ = 0, отримаємо:

x₁ = 5, x₂ = 4.

Побудуємо матрицю Гессе, спочатку визначивши

² L / ²x₁ = 8 та ² L / ²x₂ = 10 :

0 1 1

Н = 1 8 0

1 0 10