Закон Бернулли

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

ρ — плотность жидкости,

v — скорость потока,

h — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

p — давление.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли. (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид:  

.

Полное давление состоит из весового (ρgh), статического (p) и динамического ( ) давлений.

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

^17

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока возрастает скорость (то есть динамическое давление) и падает статическое давление (рис. 810300855).

Рис. 810300855. Эффект Д.Бернулли. Объяснение в тексте.

^18

С помощью уравнения Д.Бернулли в клинике при допплерографическом исследовании оценивают градиент давления в сердечно‑сосудистой системе.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli,  1700–1782). Швейцарский математик, физик и физиолог. Первоначально получил медицинское образование, и в 1725 году принял приглашение Петербургской академии наук и занял пост профессора кафедры физиологии.

Обнаружив в этой области множество нерешенных задач из области теоретической физики и, в частности, динамики движения жидкости (крови) в сосудах, вернулся к математическому описанию физических процессов и в 1730 году возглавил кафедру чистой математики Петербургской академии. В 1733 году вернулся на родину в Базель, где возглавил кафедру анатомии и ботаники местного университета, а с 1750 года — кафедру экспериментальной физики, которой и руководил до своей смерти.

Режимы течения крови

^19

Режимы течения жидкости разделя­ют на ламинарное и турбулентное.

Хорошая иллюстрация ламинарного течения воды – тихие равнинные реки (рис. 810301247), а турбулентного течения воды – шумящие горные реки (рис. 810301250).

Рис. 810301247. Ламинарного течения воды в тихой равнинной реке.

Рис. 810301250. Турбулентное течение воды в шумящей горной реке.

Ламинарное течение - это упорядоченное течение жидкости, при котором она перемеща­ется как бы слоями, параллельными направлению течения (рис. 810301235).

Рис. 810301235. Профиль скоростей при ламинарном течении.

Для ламинарного течения характерны гладкие квазипа­раллельные траектории. При ламинарном течении скорость в сечении трубы изменяется по параболическому закону:

где R - радиус трубы, Z - расстояние от оси, V_o - осевая (макси­мальная) скорость течения.

С увеличением скорости движения жидкости, например, за счет сужения потока (трубки) ламинарное течение пе­реходит в турбулентное течение (рис. 810311346), при котором происходит ин­тенсивное перемешивание между слоями жидкости, в потоке возникают многочисленные вихри различных размеров.

Рис. 810311346. Переход ламинарного течения реки в турбулентное при сужении русла.

Для турбулентного течения характерно чрезвычайно не­регулярное, беспорядочное изменение скорости со временем в каждой точке потока.

Можно ввести понятие об осредненной скорости движения, получающейся в результате усреднения по большим промежуткам времени истинной скорости в каждой точке пространства. При этом существенно изменяются свой­ства течения, в частности, структура потока, профиль скорос­тей, закон сопротивления.

Профиль осредненной скорости тур­булентного течения в трубах отличается от параболического профиля ламинарного течения более быстрым возрастанием скорости у стенок и меньшей кривизной в центральной части течения (рис. 9.2, б).

Рис. 810301301. Профиль осредненных скоростей при турбулентном течении.

За исключением тонкого слоя около стен­ки, профиль скорости описывается логарифмическим законом. Режим течения жидкости характеризуется числом Рейнольдса Re. Для течения жидкости в круглой трубе:

где V - скорость течения, средняя по поперечному сечению, R - радиус трубы.

Когда значение Re меньше критического Re_Kp ~ 2300, имеет место ламинарное течение жидкости, если Re > Re_Kp, то тече­ние становится турбулентным.

Reynolds (Osborne) : (Belfast, 1842- Watchet/Somerset, 1912) ingénieur-physicien irlandais.

Как правило, движение крови по сосудам является ламинарным. Однако в ряде случаев воз­можно возникновение турбулентности. Турбулентное движе­ние крови в аорте может быть вызвано прежде всего турбулен­тностью кровотока у входа в нее: вихри потока уже изначально существуют, когда кровь выталкивается из желудочка в аор­ту, что хорошо наблюдается при доплерокардиографии.

У мест разветвления сосудов, а также при возрастании скорости кро­вотока (например, при мышечной работе) течение может стать турбулентным и в артериях.

Турбулентное течение может воз­никнуть в сосуде в области его локального сужения, напри­мер, при образовании тромба.

Турбулентное течение связано с допонительной затратой энергии при движении жидкости, поэтому в кровеносной сис­теме это может привести к дополнительной нагрузке на серд­це.

Шум, возникающий при турбулентном течении крови, мо­жет быть использован для диагностики заболеваний. При поражении клапанов сердца возникают так называемые сердеч­ные шумы, вызванные турбулентным движением крови.