- •Раздел 1. Организационно-методический
- •Цели и задачи учебной дисциплины
- •1.2 Место дисциплины в учебном процессе
- •1.3 Требования к уровню освоения дисциплины
- •1.4 Структура курса
- •1.5 Структура деятельности студента
- •Контрольные вопросы к зачёту по дисциплине «Математика»
- •Раздел 2
- •Контрольная работа по дисциплине «Математика» вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Методические рекомендации по изучению дисципли теория пределов
- •1. Определение предела функции. Основные теоремы о пределах.
- •2. Вычисление пределов.
- •3. Предел функции на бесконечности.
- •Дифференциальное исчисление Производные функции.
- •1. Определение производной функции. Правила дифференцирования..
- •2. Нахождение производных обратных тригонометрических функций.
- •3. Вторая производная и производные высших порядков.
- •Интегральное исчисление Неопределенный интеграл.
- •1. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Определенный интеграл
- •1. Определенный интеграл и его свойства.
- •Свойства определенного интеграла
- •Определители. Основные понятия.
- •Список основной и дополнительной литературы.
3. Вторая производная и производные высших порядков.
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или , т.е. .
Производные порядка выше первого называется производными высших порядков.
Примеры. Найти производные высших порядков:
1) ;
Решение. . .
2) ;
Решение. . . .
3) ; 4) ;
Интегральное исчисление Неопределенный интеграл.
1. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение. Совокупность всех первообразных функций на множестве М называется неопределенным интегралом (на этом множестве) и обозначается символом .
В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение - подынтегральным выражением, а функция - подынтегральной функцией.
Если F (x) – одна из первообразных функций для функции на множестве М, то
, где С – любая постоянная. (1)
Пример. .
Замечание 1. Если F (x) - первообразная функции на множестве М, то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F (x): d F (x) = F' (x)d х = dх.
Будем считать по определению, что = F' (x)d х = d F (x)
Замечание 2. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной, отсюда происходит и само название «неопределенный интеграл».
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.
2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла, т.е. т ; т – постоянная величина ≠ 0.
3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. .
Пример. Найти интеграл .
= .
Замечание 3. При интегрировании алгебраической суммы функций принято записывать только одну произвольную постоянную, т.к. алгебраическая сумма произвольных постоянных есть постоянная.
4. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.
Это означает, что знак дифференциала аннулирует знак интеграла.
Таблица формул интегрирования
1.
2.
3.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. , или
13. , или
2. Метод интегрирования по частям.
Интегрированием по частям называется сведение данного интеграла к интегралу c помощью формулы
(1)
Этот прием ведет к цели, если находится легче, чем .
Примеры. Найти неопределенные интегралы интегрированием по частям:
1) ; 2) ; 3)
Методические указания к выполнению упражнения:
2) 3)
Вывод: 1) В интегралах вида ; ;
где Р(х) – многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают u = Р(х)
В интегралах вида ; ; ; ; ;
полагают Р(х)dx = dv
В интегралах вида ;
где а и b - числа, за u можно принять любую из функции , или sin bx, или cos bx.
Определенный интеграл
1. Определенный интеграл и его свойства.
Напомним, что приращением аргумента х при его изменении от х = а до х = b называется разность b – а, а приращением функции F (x) при изменении аргумента от а до b называется разность F (b) - F (а).
Определение. Приращение F (b) - F (а) любой из первообразных функций F (x) + С при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом и обозначается
, непрерывна на промежутке (а; b) .
а – нижний предел, b – верхний предел.
Теорема. Если функция непрерывна на промежутке (а; b) и F (x) – какая-либо ее первообразная на (а; b), то имеет место формула
= F (b) - F (а).
Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.
Для вычисления определенного интеграла нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное выражение подставить вместо х сначала верхний предел, а затем нижний предел определенного интеграла и из первого результата вычесть второй: F (b) - F (а).