Раздел 7
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Система координат на плоскости
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости.
Используются на плоскости два вида систем координат:
1) прямоугольная (декартова) система координат;
2) полярная система координат.
1.1. Декартова система координат
Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей.
Система координат обозначается
,
а плоскость, в которой расположена
система координат, называют координатной
плоскостью.
Рассмотрим произвольную точку
плоскости
.
Радиус-вектором точки
называется вектор
,
начало которого совпадает с началом
заданной системы координат. Всяка точка
на плоскости однозначно определяется
своим радиус-вектором.
Координатами точки
(обозначается
)
называются проекции ее радиус-вектор
на координатные оси, т.е.
.
Координата
называется абсциссой,
ординатой точки
.
Эти два числа
и
полностью определяют положение точки
на плоскости, а именно: каждой паре чисел
соответствует единственная точка
,
и наоборот.
Повторение некоторых сведений из раздела «Элементы векторной алгебры»
1. Расстояние между двумя точками
Если даны точки
и
,
то координаты вектора
равны разности соответствующих координат
его конца и начала, т.е.
.
Расстояние между двумя точками находится по следующей формуле:
.
2. Деление отрезка в заданном отношении
Если точка
делит отрезок
,
где
и
,
в отношении
,
то координаты точки
определяются по следующей формуле:
,
.
В частности, если точка
делит отрезок
пополам, т.е.
,
то
,
.
3. Условие коллинеарности двух векторов
Если два вектора лежат на одной или
параллельных прямых, то они называются
коллинеарными, т.е.
.
Пусть
и
.
Если
,
то можно записать
,
где
некоторое
действительное число. Тогда
.
4. Условие перпендикулярности двух векторов
Ненулевые векторы
и
перпендикулярны (ортогональны) тогда
и только тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю, т.е.
.
По определению скалярного произведения
,
где
.
Тогда
.
1.2. Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.
1. Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная
система координат
.
Под параллельным переносом осей
координат понимают переход от системы
координат
к новой системе
,
при котором меняется положение начала
координат, а направление осей и масштаб
остается неизменными.
Пусть начало новой системы координат
точка
имеет координаты
в старой системе координат
,
т.е.
.
