- •Раздел 7
- •1. Система координат на плоскости
- •1.1. Декартова система координат
- •Повторение некоторых сведений из раздела «Элементы векторной алгебры»
- •1.2. Преобразование системы координат
- •1. Параллельный перенос осей координат
- •2. Поворот осей координат
- •1.3. Полярная система координат
- •1.4. Линии на плоскости
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •2.1. Общее уравнение прямой
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.3. Каноническое уравнение прямой
- •2.4. Параметрические уравнения прямой
- •2.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках
- •2.7. Расположение двух прямых на плоскости
- •Условия параллельности двух прямых
- •Условия перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •2.8. Расстояние от точки до прямой
- •3. Линии второго порядка
- •3.1. Окружность
- •3.2. Эллипс
- •3.3. Гипербола
- •3.4. Парабола
- •4. Уравнения поверхности и
- •4.1. Системы координат в пространстве
- •1. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •2. Цилиндрические координаты
- •3. Сферические координаты
- •4.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •5. Уравнение плоскости
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.6. Расположение двух плоскостей Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •5.7. Расстояние от точки до плоскости
- •6. Уравнение прямой
- •6.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
- •6.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •6.3. Общие уравнения прямой в пространстве
- •6.4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •6.5. Угол между двумя прямыми
- •6.6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •6.7. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Определение точки пересечения прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •7. Поверхности второго порядка
- •7.1. Канонические уравнения и поверхности второго порядка
6.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Векторы . Тогда
. (6.5)
Равенство (6.5) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .
6.3. Общие уравнения прямой в пространстве
Прямую в пространстве можно однозначно определить пересечением двух плоскостей
, (6.4)
нормальные векторы и которых не параллельны. Уравнения (6.4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Так как прямая L перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой L можно принять векторное произведение :
.
Пример 6.1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной в общем виде
.
Решение. Находим направляющий вектор данной прямой, если и :
.
Пусть , тогда получаем и решаем систему уравнений . Находим точку . Используя равенства (6.1) получаем канонические уравнения прямой
.
Из условия получаем следующие параметрические уравнения прямой L:
.
6.4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
В пространстве две прямые могут:
1) совпадать;
2) быть параллельными;
3) пересекаться;
4) быть скрещивающимися.
Чтобы изучить взаимное расположение двух прямых в пространстве, воспользуемся их каноническими уравнениями.
Пусть даны две прямые:
и
с направляющими векторами и соответственно.
Все возможные ситуации удобно исследуются по изучению взаимного расположения трех векторов: , и , где .
6.5. Угол между двумя прямыми
Углом между двумя прямыми L1 и L2 называют любой из смежных углов, образуемых при их пересечении.
Пусть даны две прямые:
и
с направляющими векторами и соответственно.
Тогда
. (6.5)
6.6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Расстоянием от точки до прямой называют дину перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.
Пусть дана точка и прямая с направляющим вектором . Тогда расстояние от точки до прямой L находится по следующей формуле
. (6.6)
Две прямые L1 и L2 называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из прямых, т.е. длина их общего перпендикуляра.
Если две прямые заданы каноническими уравнениями
и
с направляющими векторами и соответственно, то расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по следующей формуле
. (6.7)
6.7. Взаимное расположение прямой и плоскости
В пространстве прямая и плоскость могут:
1) ;
2) ;
3) .
Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:
,
плоскость P – общим уравнением
.
Тогда рассмотрим следующие случаи: