- •Раздел 7
- •1. Система координат на плоскости
- •1.1. Декартова система координат
- •Повторение некоторых сведений из раздела «Элементы векторной алгебры»
- •1.2. Преобразование системы координат
- •1. Параллельный перенос осей координат
- •2. Поворот осей координат
- •1.3. Полярная система координат
- •1.4. Линии на плоскости
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •2.1. Общее уравнение прямой
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.3. Каноническое уравнение прямой
- •2.4. Параметрические уравнения прямой
- •2.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках
- •2.7. Расположение двух прямых на плоскости
- •Условия параллельности двух прямых
- •Условия перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •2.8. Расстояние от точки до прямой
- •3. Линии второго порядка
- •3.1. Окружность
- •3.2. Эллипс
- •3.3. Гипербола
- •3.4. Парабола
- •4. Уравнения поверхности и
- •4.1. Системы координат в пространстве
- •1. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •2. Цилиндрические координаты
- •3. Сферические координаты
- •4.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •5. Уравнение плоскости
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.6. Расположение двух плоскостей Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •5.7. Расстояние от точки до плоскости
- •6. Уравнение прямой
- •6.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
- •6.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •6.3. Общие уравнения прямой в пространстве
- •6.4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •6.5. Угол между двумя прямыми
- •6.6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •6.7. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Определение точки пересечения прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •7. Поверхности второго порядка
- •7.1. Канонические уравнения и поверхности второго порядка
2.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .
. (2.7)
Равенство (2.7) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .
2.6. Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая L на осях координат и отсекает отрезки длиной и соответственно.
. (2.8)
Равенство (2.8) называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Пример 2.1. Даны вершины . Сделать рисунок. Найти: 1) уравнение стороны ;
2) уравнение медианы ;
3) уравнение высоты ;
4) координаты точки пересечения медианы и высоты .
Решение. 1) Воспользуемся уравнением (2.7):
.
Итак, уравнение стороны .
2) Находим координаты точки середины :
; .
Следовательно, . Используя формулу (2.7), находим уравнение медианы :
.
Итак, уравнение медианы .
3) Рассмотрим вектор . Вектор , т.е нормальный вектор прямой . Чтобы составить уравнение высоты , воспользуемся формулой (2.1):
.
Итак, уравнение высоты .
4) Чтобы найти координаты точки , где , то составляем и решаем систему уравнений
.
Итак, точка пересечения медианы и высоты .
Пример 2.2. Найти угол наклона к оси прямой L, если
.
Решение. Запишем уравнение прямой через угловой коэффициент:
.
Значит, . Следовательно, .
2.7. Расположение двух прямых на плоскости
Пусть заданы уравнения двух прямых и . Чтобы определить координаты точки пересечения составляют и решают систему уравнений:
.
Если система уравнений не имеет решений, то две прямые параллельны. Если система уравнений имеет бесчисленное множество решений, то две прямые совпадают.
Условия параллельности двух прямых
Способы задания уравнений прямых |
Условия параллельности |
1. и . и нормальные векторы |
условия параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями |
2. и . и угловые коэффициенты |
условия параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами |
3. и . и направляющие векторы |
условия параллельности двух прямых, заданных канонически |
Условия перпендикулярности двух прямых
Способы задания уравнений прямых |
Условия перпендикулярности |
1. и . и нормальные векторы |
условия перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями |
2. и . и угловые коэффициенты |
условия перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами |
3. и . и направляющие векторы |
условия перпендикулярности двух прямых, заданных канонически |