2. Уравнение прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

2.1. Общее уравнение прямой

Положение прямой на плоскости вполне определено, если известны точка , через которую она проходит, и ненулевой вектор , перпендикулярный к этой прямой.

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и перпендикулярную вектору . Вектор называется нормальным вектором прямой.

. (2.1)

Соотношение (2.1) удовлетворяет координатам тех и только тех точек плоскости , которые принадлежат прямой . Формула (2.1) называется уравнением прямой с нормальным вектором и проходящей через точку .

Раскрыв скобки в уравнении (2.1), получим

, (2.2)

где . Уравнение (2.2) называется общим уравнением прямой с нормальным вектором .

Общее уравнение прямой (2.2) называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если же хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений:

1) при уравнение определяет прямую, проходящую через начала координат;

2) при уравнение  определяет прямую, перпендикулярную к вектору и параллельную оси . Если , то уравнение определяет ось ;

3) при уравнение  определяет прямую, перпендикулярную к вектору и параллельную оси . Если , то уравнение определяет ось .

2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение вида

(2.3)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение (2.3) можно получить из общего уравнения (2.2) при . Действительно, из (2.2) имеем . Обозначив , придем к уравнению (2.3).

Выясним геометрический смысл углового коэффициента прямой .

или

.

Итак, и . Сравнивая два уравнения, получаем .

Угловой коэффициент k прямой численно равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси , т.е. .

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом k.

, или

. (2.4)

Равенство (2.4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку .

2.3. Каноническое уравнение прямой

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой.

На прямой L возьмем произвольную точку . Найдем координаты вектора :

.

. Тогда

. (2.5)

Равенство (2.5) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

2.4. Параметрические уравнения прямой

Так как векторы и коллинеарные, то существует такое число , что . Значит,

, или

. (2.6)

Уравнение (2.6) называется параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку с направляющим вектором .