Угол между двумя прямыми

Под углом  между двумя прямыми и будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельна другой прямой или совпала с ней. Ясно, что , т.е. .

Угол между двумя прямыми находится с учетом того, каким способом заданы уравнения прямых.

Способы задания уравнений прямых
1. и . и  нормальные векторы;	. С условием того, что , то выражение для берется по абсолютной величине, т.е. .
2. и . и  угловые коэффициенты	. С условием того, что , то выражение для берется по абсолютной величине, т.е. .
3. и . и  направляющие векторы	. С условием того, что , то выражение для берется по абсолютной величине, т.е. .

2.8. Расстояние от точки до прямой

Постановка задачи: Пусть задана прямая L уравнением точка . Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

.

Так как точка принадлежит прямой L, то , т.е. . Поэтому

, (2.9)

что и требовалось получить.



3. Линии второго порядка

Прямая линия описывается общим уравнением , в которое текущие координаты и входят с первой степенью. Такие линии называются линейными или уравнениями первого порядка. Уравнения линий (кривых) на плоскости, содержащие, кроме первых степеней текущих координат и , квадраты этих координат или их произведение , относятся к уравнениям кривых второго порядка.

Определение 3.1. Линии (кривые), заданные уравнением вида

, (3.1)

где коэффициенты уравнения являются действительными числами и, по крайней мере, одно из чисел или отличны от нуля, называются линиями (кривыми) второго порядка.

3.1. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

Определение 3.2. Окружностью радиуса с центром в точке называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от точки .

. (3.2)

Уравнение (3.2) называется каноническим уравнением окружности.

Например, если  центр окружности, , то уравнение окружности примет вид: .

Пример 3.1. Доказать, что уравнение вида является уравнением окружности.

Доказательство. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты относительно переменных и :

.

Следовательно,

 есть каноническое уравнение окружности с центром и радиусом .



3.2. Эллипс

Определение 3.3. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через и , расстояние между ними через , т.е. , которое называется междуфокусным расстоянием эллипса. Сумма расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов обозначим через , где .

Пусть  произвольная точка эллипса. Обозначим и . Величины и называются фокальными радиусами точки эллипса. По определению эллипса . Так как и , то из уравнения получаем

. (3.3)

Это и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Преобразуем уравнение (3.3) к более простому виду следующим образом:

,

,

,

,

.

Так как , то . Положим . Тогда последнее уравнение примет вид

или

. (3.4)

Уравнение (3.4) называется каноническим уравнением эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Чтобы установить форму эллипса и построить его в прямоугольной системе координат , проведем исследование его канонического уравнения.

1. Уравнение (3.4) содержит и только в четной степени, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему принадлежат точки , и . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно начала координат , который называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнение (3.4) , находим две точки и , в которых эллипс пересекает ось . Положив , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки называются вершинами эллипса.

3. Из уравнения (3.4) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми и .

4. В уравнении (3.4) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Есть и другие способы построения эллипса.

Рассмотрим способ построения точек эллипса с помощью циркуля и линейки, если заданы его оси и .

Эллипс можно задать не только каноническим уравнением, но и параметрическими уравнениями.

Сделав в каноническом уравнении эллипса замену переменных , получаем уравнение окружности . Параметрические уравнения этой окружности имеют вид . Далее находим

(3.5)

Уравнения (3.5) называются параметрическими уравнениями эллипса.

В качестве характеристики формы эллипса используется отношение .

Обозначим (  «эпсилон»). Это число называется эксцентриситетом эллипса. Так как , то

и

Отсюда следует, что при (в этом случае эллипс превращается в окружность ) эксцентриситет . Так как для эллипса , то . Таким образом, для эллипса . При эллипс становится более вытянутым вдоль оси .

Через эксцентриситет  можно выразить фокальные радиусы и любой его точки . Действительно, . Используя формулы и (3.4) можно получить

.

По аналогии получаем .

При изучении эллипса большую роль играют две прямые , которые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а  правой. Директрисы эллипса обладают свойством, которое сформулируем в виде теоремы (без доказательства).

Пример 3.2. Большая ось эллипса равна 12, а директрисами его служат прямые . Найти уравнение эллипса и его эксцентриситет.

Решение. По условию . Из уравнений директрис находим :

.

Тогда . Следователь, искомое уравнение эллипса есть

.

Эксцентриситет его .



Замечание. Если центр эллипса с полуосями и смещен в точку , то его каноническое уравнение имеет вид

.