Пример 1: Введение Узла на Узловом Интервале

Пусть имеется кривая B-spline 3 степени с таким узловым вектором:

u0 - u3	u4	u5	u6	u7	u8 - u11
0	0.2	0.4	0.6	0.8	1

Нам нужно ввести новый узел t = 0.5. Так как t = 0.5 лежит на узловом интервале [u₅,u₆), зависящие контр. точки - это p₅, p₄, p₃ и p₂. Чтобы определить три новых контр. точки q₅, q₄ и q₃, нам нужно вычислить a₅, a₄ и a₃ следующим образом:

a₅ = (t - u₅) / (u₈ - u₅) = (0.5 - 0.4) / ( 1 - 0.4) = 1/6 a₄ = (t - u₄) / (u₇ - u₄) = (0.5 - 0.2) / ( 0.8 - 0.2) = 1/2 a₃ = (t - u₃) / (u₆ - u₃) = (0.5 - 0) / ( 0.6 - 0) = 5/6

Таким образом, три новых контр. точки - это

q₅ = (1 - 1/6)p₄ + (1/6)p₅ q₄ = (1 - 1/2)p₃ + (1/2)p₄ q₃ = (1 - 5/6)p₂ + (5/6)p₃

Новая контр. ломаная становится p₀, p₁, p₂, q₃, q₄, q₅, p₅, ...., а узловой вектор

u0 - u3	u4	u5	u6	u7	u8	u9 - u12
0	0.2	0.4	0.5	0.6	0.8	1

Так как у исходной кривой B-spline p = 3 и m = 11, получаем n = m - p - 1 = 11 - 3 - 1 = 7 и отсюда 8 контр. точек. Вот кривая B-spline, удовлетворяющая этому условию и ее базисные функции:

Три синих прямоугольника - это q₃, q₄ и q₅. После введения t = 0.5, углы в p₃ и p₄ отсекаются иполучается следующая кривая B-spline и ее базисные функции. Заметьте, что форма кривой не изменяется:

Следующая диаграмма показывает соотношения между старыми и новыми контр. точками. Заметьте, новый набор контр. точек содержит p₀, p₁, p₂, q₃, q₄, q₅, p₅, p₆ и p₇.

Соотношения между значениями a_j, u_j, и t показаны ниже:

Пример 2: Введение Узла в Существующем Простом Узле

Пусть имеем такой узловой вектор:

u0 - u4	u5	u6	u7	u8	u9	u10	u11	u12 - u16
0	0.125	0.25	0.375	0.5	0.625	0.75	0.875	1

Нам нужно ввести новый узел t = 0.5, который равняется существующему (т.e. t = u₈ = 0.5). Вот кривая B-spline 4 степени и ее базисные функции до введения нового узла t.

Так как t находится на [u₈,u₉), то зависящие точки - это p₈, p₇, p₆, p₅ и p₄. Коэффициенты вычисляем так:

a₈ = (t - u₈) / (u₁₂ - u₈) = (0.5 - 0.5) / (1 - 0.875) = 0 a₇ = (t - u₇) / (u₁₁ - u₇) = (0.5 - 0.375) / (0.875 - 0.375) = 1/4 a₆ = (t - u₆) / (u₁₀ - u₆) = (0.5 - 0.25) / (0.75 - 0.25) = 1/2 a₅ = (t - u₅) / (u₉ - u₅) = (0.5 - 0.125) / (0.625 - 0.125) = 3/4

Новые контр. точки - это

q₈ = (1 - 0)p₇ + 0p₈ q₇ = (1 - 1/4)p₆ + (1/4)p₇ q₆ = (1 - 1/2)p₅ + (1/2)p₆ q₅ = (1 - 3/4)p₄ + (3/4)p₅

Новая контр. точка q₈ равна исходой контр. точке p₇. Фактически, если t равняется узлу, скажем, u_k, то

a_k = (t - u_k) / (u_k+p - u_k) = 0

Следовательно, имеем

q_k = (1 - 0)p_k-1 + 0p_k = p_k-1

То есть, если новый узел t, который должен быть введен, равняется существующему простому узлу u_k, то q_k, последняя новая контр. точка, равняется p_k-1. Следующая диаграмма показывает схему вычислений:

На рисунке в начале этого примера новые контр. точки и новая контр. ломаная показаны оранжевым цветом. Пожалуйста, заметьте, новые контр. точки - это p₀, p₁, p₂, p₃, p₄, q₅, q₆, q₇, q₈ = p₇, p₈, p₉, p₁₀ и p₁₁. Кривая и ее базисные функции после введения нового узла t = 0.5 показана ниже.

Соотношения между значениями a_j, u_j и t показаны ниже: