Что, если область u не [0.1]?

Иногда областью может быть [a,b], а не [0,1]. Поэтому нужна замена переменной - просто преобразуем u на [a,b] в новую u на [0,1] и используем эту u в коэффициентах Безье. Преобразовать u к [0,1] можно так:

Подставляя это u в коэффициенты Безье B_n,i(u), имеем:

Эти новые коэффициенты Безье описывают кривую на области [a,b]. Позже это окажется полезным.

Краткий Итог

В итоге, чтобы описать кривую Безье степени n, нужно выбрать n + 1 контрольных точек в пространстве, грубо описывающих форму нужной нам кривой. Далее, если форма кривой недостаточно соответствует нужной нам, можно перемещать контрольные точки. Когда перемещается одна или несколько точек, соответственно изменяется форма кривой. Но кривая всегда лежит внутри ограничивающего многоугольника контрольных точек(св-во огр. многоугольника), а форма полученной кривой менее сложна, чем у ее контрольной ломаной(св-во уменьшения изменчивости).

Перемещение Контрольных Точек

Изменение положения контрольной точки изменит форму кривой Безье. Спрашивается:

Как изменится форма кривой, если контрольную точку переместить в новое положение?

Допустим, контр. точка P_k перешла в новое положение P_k + v, где вектор v определяет как направление, так и длину перемещения. Это показано на рисунке:

Пусть новой кривой Безье будет C(u), а оригинальная кривая будет описываться как

Подставляя P_k + v в уравнение кривой Безье C(u) получаем следующее:

Выше, так как только k-ый член описывает отличную от остаьлных контрольную точку P_k + v, после перегруппировки получаем, что новая кривая - это сумма исходной кривой и дополнительного члена B_n,k(u)v. Это значит:

соответствующая u точка на новой кривой получается переносом соответствующей точки на исходной кривой на вектор B_n,k(u)v.

Более точно, дано u, имеем точку p(u) на исходной кривой и C(u) на новой кривой, C(u) = p(u) + B_n,k(u)v. Так как v указывает направление движения, C(u) - это результат перемещения p(u) в том же направлении. Длина переноса, конечно, - это длина вектора B_n,k(u)v.

Следующий рисунок поясняет этот эффект. И черная, и красная линии - кривые Безье 8 степени, построенные по 9 контрольным точкам. Черная кривая - исходная. Если ее контроьлную точку 3 переместить по вектору, показанному фиолетовым, черная кривая перейдет в красную. На каждой из этих двух кривых есть точка, соответствующая u=0.5. Ясно, что p(0.5) перемещается в том же направлении к C(0.5). Расстояние между p(0.5) и C(0.5) - длина вектора B(0.5)v = 8!/(3!(8-3)!)×0.5³(1-0.5)^8-3v = 0.22v. Отсюда, расстояние равно примерно 22% расстояния между исходным положенем контр. точки 3 и ее новым положением, как показано на рисунке ниже.

Из сказанного можно сделать еще одно полезное заключение. Так как B_n,k(u) не равно 0 на открытом интервале (0,1), B_n,k(u)v - ненулевой вектор на (0,1). Это значит, что помимо двух конечных точек p(0) и p(1), все точки исходной кривой переместятся в новые положения. Таким образом,

Изменение положения контрольной точки полностью изменяет форму кривой Безье.