Замечание [Наблюдение] II: Вычисление Новых Контрольных Точек

Вспомним из способа введения узла в существующий узел, что, если t вводится в существующий узел u_k множественности s, то контр. точки p_k-s, p_k-s+1, ..., p_k-1 и p_k не влияют, и только p_k-p, p_k-p+1, ..., p_k-s участвуют в вычислении новых контр. точек q_i. Перепишем все новые контр. точки после первого введения со вторым нижним индексом 1. Таким образом, имеем следующую диаграмму:

Если один и тот же узел вводится второй раз, то зависящие [affected] p+1 контр. точек - это p_k, p_k-1, p_k-s, p_k-s,1, p_k-s-1,1, ..., p_k-p+1,1, как показано в вышеукзанной диаграмме. Заметьте, что p_k-p исключается, так как только p+1 контр. точек зависимы [affected]. Тем не менее, так как множественность t увеличивается на единицу из-за первого введения, то s+2 контр. точек не будут участвовать вычислении введения узла: p_k, p_k-1, ..., p_k-s и p_k-s,1. Схема вычисления и новый набор точек показаны ниже. Заметьте, что новые контр. точки, полученные после второго введения узла, имеют в качестве второго нижнего индекса число 2. Новые контр. точки - это: (1) p_k-p+1,1 и p_k-s,1, полученные после первого введения узла, и (2) p_k-p+2,2 - p_k-s,2, полученные после второго введения узла.

Для третьего введения, зависимые p+1 контр. точек - это от p_k-p+2,2 до p_k-s,2, p_k-s,1, и от p_k-s до p_k. Так как третье введение вновь увеличивает множественность t на единицу, то количество контр. точек, которое не участвует в вычислении, также увеличивается на единицу. В итоге, p_k-s,2 останется неизменным как до третьего введения, так и после него. Это показывает следующая диаграмма:

В общем случае, если t вводится h раз в узлы u_k множественности s, где s = 0 означает, что t вводится в середине этого узлового интервала, а s > 0 значит, что t вводится в множественный узел, то можно:

1. записать первый набор p+1 зависимых контр. точек в качестве нулевого столбца;

2. пропустить последние s контр. точек (т.e. от p_k-s+1 до p_k);

3. Вычислить первый столбец, второй столбец, ... И h-ый столбец;

4. Новым набором контр. Точек будут те, что ограничены пунктирным многоугольником.

Итоги

Объединяя эти два наблюдения, полусим следующий алгоритм для введения узла t несколько раз.

Входные данные: узел t на [u_k, u_k+1) с исходной множественностью s, который нужно ввести h раз, где h+s меньше или равно p, степень данной кривой B-spline или NURBS Выходные данные: новый набор контр. точек после того, как t введен h раз Переименуем контр. точки p_k, p_k-1, ..., p_k-p как p_k,0, p_k-1,0, ..., p_k-p,0, т.е. добавим второй нижний индекс 0. for r := 1 to h do

for i := k-p+r to k-s do

begin

Let a_i,r = (t - u_i) / ( u_i+p-r+1 - u_i ) Пусть p_i,r = (1 - a_i,r) p_i-1,r-1 + a_i,r p_i,r-1

end

Новый набор контр. точек образуется из исходных от p₀ до p_k-p, следуя по верхнему краю вышеизложенной диаграммы (т.e. p_k-p+1,1, p_k-p+2,2, ..., p_k-p+h,h), потом по правому краю диаграммы (т.e. p_k-p+h+1,h, p_k-p+h+2,h, ...., p_k-s,h), потом по низу диаграммы (т.e. p_k-s,h-1, p_k-s,h-2, ...., p_k-s,1), потом по исходным контр. точкам p_k-s, ..., p_k, ..., p_n.