Пример 3: Введение Узла в Существующем Множественном Узле

А что, если новый узел t вводится в монжественный узел? Пусть t вводится в узел u_k множественности s. Таким образом, имеем s последовательных одинаковых узлов: u_k = u_k-1 = u_k-2 = .... = u_k-s+1 и u_k-s+1, не равный u_k-s. В вычислении коэффициентов a_k, ...., a_k-p+1, имеем следующее:

a_k = (t - u_k) / (u_k+p - u_k) = (u_k - u_k) / (u_k+p - u_k) = 0 a_k-1 = (t - u_k-1) / (u_k+p-1 - u_k-1) = (u_k - u_k-1) / (u_k+p-1 - u_k-1) = 0 .......... a_k-s+1 = (t - u_k-s+1) / (u_k-s+1+p - u_k-s+1) = (u_k - u_k-s+1) / = 0

Отсюда, коэффициенты a_k, ...., a_k-p+1 все равны нулю и, следовательно, имеем

q_k = (1 - a_k)p_k-1 + a_kp_k = p_k-1 q_k-1 = (1 - a_k-1)p_k-2 + a_k-1p_k-1 = p_k-2 .......... q_k-s = (1 - a_k-s+1) p_k-s + a_k-s+1p_k-s = p_k-s

Это показывает, что, если новый узел t вводится в существующий узел u_k множественности s, то последние s новых контр. точек, q_k, q_k-1, ..., q_k-s+1 равны исходным контр. точкам p_k-1, p_k-2, ..., p_k-s. Если s = 1 (т.e. это простой узел), q_k равно p_k-1, что как раз и обсуждалось во 2 примере. Если s = 0 (т.e. t не является узлом), то все контр. точки от p_k-p до p_k являются зависимыми [involved]. Это случай из 1 Примера. Следующая диаграмма показывает схему вычислений:

Введение Узла для Кривых nurbs

Только что обсуждалось введение узла для кривых B-spline. Так как кривые NURBS - это проекции 4D-кривых B-spline на 3D-пространство, то введение узлов для кривых NURBS - это довольно просто. Заметьте, вышеизложенное обсуждение и вычисления не требуют, чтобы контр. точки были в трехмерном пространстве. Таким образом, введение узла для кривых NURBS делается в три шага: (1) преобразуем данную кривую NURBS в 3D в кривую B-spline в 4D, (2) проводим введение узла для этой четырехмерной кривой B-spline, и (3) проецируем новый набор контр. точек обратно на трехмерное пространство, чтобы получить новый набор контр. точек для данной кривой NURBS после введения узла.

Пусть имеется n + 1 контр. точек p₀, p₁, ..., p_n с соответствующими весами w₀, w₁, ..., w_n, узловой вектор U и степень p. Пусть p_i = (x_i, y_i, z_i). Тогда контр. точки P_i = ( w_ix_i, w_iy_i, w_iz_i, w_i ), 0 <= i <= n и узловой вектор U определяют четырехмерную кривую B-spline степени p. Мы можем ввести узел t в эту четырехмерную кривую B-spline, получим новый набор контр. точек Q_i = ( X_i, Y_i, Z_i, W_i ), 0 <= i <= n. Проецируем эти контр. точки обратно на трехмерное пространство с помощью деления первых трех составляющих на четвертую, и получаем новый набор контр. точек для данной кривой NURBS.

Рассмотрим пример. Допустим, есть 9 узлов

u0 - u3	u4	u5 - u8
0	0.5	1

и кривая NURBS 3 степени, построенная по 5 контр. точкам на плоскости xy:

	x	y	w
p0	-70	-76	1
p1	-70	75	0.5
p2	74	75	4
p3	74	-77	5
p4	-40	-76	1

Вот кривая и ее базисные функции.

Давайте введем новый узел t = 0.4. Так как t на узловом интервале [u₃, u₄), а степень кривой NURBS равна 3, то зависимые точки - это p₃, p₂, p₁ и p₀. Так как это кривая NURBS, мы будем использовать [homogeneous] кординаты, умножив все контр. точки на соответствующие им весы. Назовем эти новые точки P_i:

	x	y	w
P0	-70	-76	1
P1	-35	37.5	0.5
P2	296	300	4
P3	370	-385	5

Заметьте, так как на P₄ не влияет введение узла, она не вычисляется в этой таблице. Затем, вычисляем a₃, a₂ и a₁:

a₃ = (t - u₃)/ (u₆ - u₃) = (0.4 - 0)/(1 - 0) = 0.4 a₂ = (t - u₂)/ (u₅ - u₂) = (0.4 - 0)/(1 - 0) = 0.4 a₁ = (t - u₁)/ (u₄ - u₁) = (0.4 - 0)/(0.5 - 0) = 0.8

Новые контр. точки Q₃, Q₂ и Q₁ - это

Q₃ = (1 - a₃)P₂ + a₃P₃ = ( 325.6, 26, 4.4 ) Q₂ = (1 - a₂)P₁ + a₂P₂ = ( 97.4, 142.5, 1.9 ) Q₁ = (1 - a₁)P₀ + a₁P₁ = ( -42, 14.8, 0.6 )

Проецируя эти три четырехмерные контр. точки с помощью деления первых трех составляющих на четвертую (вес), получим

q₃ = ( 74, 5.9 ) с весом 4.4 q₂ = ( 51.3, 75 ) с весом 1.9 q₁ = ( -70, 24.6 ) с весом 0.6

Вот конечный вид кривой NURBS и ее базисных функций: