4. Существование решения.

Теперь при определенных условиях на граничные функции и покажем, что функция , определенная рядом (61) удовлетворяет условиям (2) и (4). Для этого функции и запишем в виде:

где ,

где ,

Теорема 2. При больших k имеют место оценки

,

где , .

Доказательство. Рассмотрим .

В силу непрерывности функции в замкнутой ограниченной области , получаем, что данная функция ограничена в , тогда . Следовательно,

В силу непрерывности функций и в замкнутой ограниченной области , получаем, что

.

Рассмотрим .

Олег, где стоит ??? надо подсчитать функцию

Рассмотрим .

,

Рассмотрим .

Рассмотрим .

Рассмотрим .

Рассмотрим

Теорема доказана.

Из функции, определяемой равенством (61), почленным дифференцированием составим ряды:

В силу теоремы 2 ряды (61), (96), (97) мажорируются числовым рядом

В силу сходимости ряда (98) на основании признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (61), (96), (97) на замкнутой области .

Следовательно, функция , определенная рядом (61), удовлетворяет условию (2). Подставляя ряды (61), (96), (97) в уравнении (1), убеждаемся в том, что функция , определенная рядом (61), является решением уравнения (1) на множестве .

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 3. Если функции , , то существует единственное решение задачи (2)-(7) и оно определяется рядом (61).