3. Единственность решения.

Пусть существует два решения и задачи (2) – (7). Тогда их разность удовлетворяет тому же уравнению (1), но с правой частью , и однородным граничным условиям:

, . (76)

Введем в рассмотрение функции:

, (77)

, (78)

. (79)

Продифференцируем равенства (77)–(79) по переменной получим

, (80)

, (81)

. (82)

Проинтегрируем дважды по частям в равенствах (80)–(82) получим

,

,

,

где

, ,

. (83)

Итак, равенства (73)–(75) равносильны следующим дифференциальным уравнениям

, (84)

, (85)

, (86)

Для функций (70) –(72) на основании (69) имеем граничные условия:

, , (87)

, , (88)

. (89)

Проинтегрируем уравнение (84) по переменной , получим

,

где произвольная постоянная.

Функция должна удовлетворять граничным условиям (89) т.е.

Итак, получили, что

. (90)

Решение дифференциального уравнения (85) будем искать методом Бернулли. Пусть . Тогда Подставив выражение функции, и ее производной в уравнение (85) получим:

(91)

Будем считать, что функция такова, что Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные

,

.

Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Продифференцируем полученное равенство, получим

,

,

где – произвольная постоянная.

Полученная функция является общим решением уравнения. Положим , тогда функция примет вид

.

Тогда уравнение (91) примет вид:

Так как при любых , то разделим левую и правую часть уравнения на выражение . Получим уравнение

.

Отсюда получаем

Из предположения, а так же из равенств для и получаем, что искомая функция имеет вид:

(92)

где произвольная постоянная.

Функции вида (92) должны удовлетворять граничному условию (88). Следовательно, коэффициенты и определяются из системы

Определитель полученной системы равен

, .

Итак, у не однородной системы определитель отличен от , следовательно, система имеет единственное нулевое решение. То есть , , а следовательно

. (93)

С учетом равенства (93) дифференциальное уравнение (86) принимает вид

. (94)

Аналогично получаем, что дифференциальное уравнение второго порядка (94) с граничными условиями (80) имеет решение вида

. (95)

Из равенств (77)–(79) и (83) имеем:

, ,

, ,

, , .

Отсюда в силу полноты системы функций (39) в пространстве следует, что почти всюду на при любом и почти всюду на . В силу (2), (3) функция непрерывна в и , поэтому в и на .

Итак, получаем

Следовательно, наше предположение не верно.

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)–(7), то оно единственно.