Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

	π 2	sin x					π 2		π2
	= π ∫				dx = −πarctg (cos x)			=		.
							0		4
		1+cos	2	x
	0

Замечание 1. Вычисляя определенные интегралы по формуле (1), следует внимательно проверять условия, при которых эта формула установлена. Формальное применение формулы (1) может привести к неверному результату.

С этой целью рассмотрим следующий пример.

π

Ясно, что J = ∫dx = π. Запишем теперь интеграл J в виде

0

π

dx

π

dx

J = ∫

=

∫

.

sin

2

x +cos

2

cos

2

2

0

x

0

x (tg

x +1)

dx

В последнем интеграле сделаем замену tg x = t

dt =

. Получим

cos2 x

0

dt

J = ∫

= 0 .

t

2

0

+1

Таким образом, получили π = 0

(абсурд).

Дело в том, что в промежутке [0, π] нельзя было делать замену tg x = t , так как функция tg x терпит разрыв в точке x = π2 ( π2 [0, π]).

Замечание 2 (об определенном интеграле от четной и нечетной функции по симметричному промежутку). Пусть функция f ( x) R([−a, a]) (промежуток

симметричен относительно точки x = 0 ). Тогда:

a

a

1) ∫ f (x) dx = 2∫ f (x) dx , если f ( x) – четная функция;

−a 0 a

2) ∫ f (x) dx = 0 , если f ( x) – нечетная функция.

−a

a

0

a

Имеем ∫ f (x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . В первом интеграле справа сдела-

−a	−a	0
ем подстановку x = −t . Получим:
0	0	a			a
∫	f (x) dx = −∫ f (−t) dt = ∫ f (−t) dt
					= ∫ f (−x) dx .
−a	a	0			0
А тогда
a	a	a	a
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (−x) dx = ∫[f ( x) + f (−x)]dx .
−a	0	0	0

51

1. Пусть	f ( x) – четная функция. Тогда f ( x) + f (−x) ≡ 2 f ( x) и, следова-
a	a

тельно, ∫ f (x) dx = 2∫ f (x) dx .

−a 0

2. Пусть f ( x) – нечетная функция. Тогда f ( x) + f (−x) ≡ 0 и, следовательно,

a

∫ f (x) dx = 0 .

−a

Примеры.

π

x

3. Вычислить интеграл J = ∫

x sin

dx .

1+cos

2 x

x sin x

−π

Здесь f (−x) =

= f (x) , т. е.

f ( x)

– четная функция; промежуток

+cos2 x

1

интегрирования [−π, π] симметричен относительно точки x = 0 . Поэтому

π

x sin

x

π2

= π2

J = 2∫

dx = 2

1+cos

2

4

0

x

2

(использован результат примера 2).

1

4. Вычислить J = ∫x3 1+ x6 dx .

−1

Здесь f (−x) = −x3 1+ x6 = − f ( x) , т. е.

f ( x) – нечетная функция; промежу-

ток интегрирования [−1,1] симметричен относительно точки

x = 0 . Поэтому

J = 0 .

§12. Применение теории определенного интеграла

к вычислению некоторых пределов

Мы знаем, что

b

n−1

∫

f (x) dx =

lim

f (ξk ) ∆xk .

(1)

max

∆xk →0 ∑

a

(

k =0

Помним также, что если

)

f ( x) R [a, b] , то предел, стоящий в правой части, не

зависит ни

от способа

разбиения

промежутка [a, b] на

части [xk , xk +1],

k =

, ни от способа выбора точек ξk

в [xk , xk +1]. В частности, промежу-

0, n −1

ток

[a, b] может быть

разбит

на

части

[xk , xk +1] равной

длины, так что

∆x

k

= b −a

для любого k, а в качестве точек ξ

k

могут быть взяты, например,

n

левые или правые концы промежутков [xk , xk +1]. Все вышесказанное позволяет

52

использовать теорию определенного интеграла для вычисления пределов некоторых сумм. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример 1. Пусть S

1

1

1

n

=

+

+K+

. Требуется найти lim S

n

.

+

1

n +

2

n

n + n

n→∞

1

2

=

n−1

x =0 x =

x =

k −1

k

x

x =1

n

n

0

1

2

n

n

n−1

n

n

Рис. 1.17. К решению примера 1

1

1

1

Перепишем Sn в виде Sn = 1n

+

+K+

. Введем в рассмот-

1+

1

2

n

n

1+

n

1+

1

n

рение функцию

f ( x) =

,

x [0,1]. Составим интегральную сумму Римана σ

1+ x

для функции

f ( x) в промежутке [0,1]. Для этого разделим промежуток [0,1] на

n

равных частей

[x

, x

],

k =

.

Тогда

∆x

= x

− x

=

k

−

k −1

= 1 , для

k −1

k

1, n

k

k

k −1

n

n

n

любого k =

.

В качестве точки

ξk

на промежутке

[xk −1, xk ] берем точку

1, n

x

k

=

k

, т. е. правый конец промежутка. Получим

n

n

n

1

1

1

1

σ = ∑ f (ξk ) ∆xk = ∑

1n

= 1n

+

+K+

= Sn .

k

1

2

n

k =1

k =1

1+

{

1+

1+

1+

n

n

n

n

=∆xk

{

1+ x

(

)

= f (ξk )

(

)

У нас f ( x) =

1

C [0,1]

f ( x)

R [0,1] . Следовательно,

lim S

=

lim

σ =

1

f ( x) dx =

1

dx

= ln (1+ x)

x=1

n

∫

∫1+ x

n→∞

λ→0

x=0

( n→∞)

0

0

= ln 2 .

Пример 2. Пусть Sn =	1		π	+sin	2π	+K+sin	(n −1)π		. Требуется найти
		sin	n		n		n
lim Sn .	n
n→∞					f ( x) = sin πx , x [0,1]. Составим инте-
Введем в рассмотрение функцию

гральную сумму Римана σ для этой функции в промежутке [0,1]. Для этого раз-

делим промежуток [0,1]

на n равных частей [xk , xk +1], k =

. Будем иметь

0, n −1

∆x

=

k +1

−

k

= 1 , для любого k =

. В качестве точки ξ

на промежутке

k

0, n −1

k

n

n

n

k

[x

, x

]

берем точку x

=

, k =

, т. е. левый конец промежутка. Полу-

k

k +1

k

0, n −1

n

чим

53

n−1

n−1

kπ

1

σ = ∑f (ξk )∆xk = ∑sin

= Sn .

n

n

(

k =0

)

k =0

Так как f ( x) = sin πx R [0, 1] , то

1

1

x=1

2

lim S

n

= lim

σ =

∫

sin πx dx = −

cos πx

=

.

n→∞

λ→0

π

x=0

π

( n→∞)

0

Пример 3. Пусть Sn

=

1p +2 p +K+ n p

( p > 0 ). Требуется найти lim Sn .

n p+1

n→∞

1

1

p

2

p

n

p

Перепишем Sn

в виде Sn =

. Введем в рас-

+

+K+

n n

n

n

смотрение функцию

f ( x) = x p , x [0, 1]. Составим для этой функции в проме-

жутке [0, 1] интегральную сумму Римана σ. Для этого делим промежуток [0, 1]

на n

равных частей [xk −1, xk ],

k =

.

В качестве точки ξk в промежутке

1, n

[x

k −1

, x

k

] берем точку x

k

=

k

, т. е. правый конец промежутка. Получим

n

n

n k p

1

σ = ∑f (ξk )∆xk =

∑

n

= Sn .

f ( x) = x p ( p >

k =1

(

)

k =1 n

Так как

0 ),

f ( x) R [0,1]

, то

lim S

n

=

lim

σ = 1 x pdx =

x p+1

x=1

=

1

.

p +1

p +1

n→∞

λ→0

∫

x

=0

( n→∞)

0

54

ГЛАВА 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В этой главе вводится понятие интеграла в случаях:

1) когда функция f ( x) , ограниченная в [a, b] , не определена в нескольких точках этого промежутка;

2)когда функция f ( x) не является ограниченной в [a, b] ;

3)когда промежуток интегрирования имеет бесконечную длину.

§1. Несобственный интеграл от ограниченной функции, не определенной в нескольких точках

Пусть функция f ( x) определена в [a, b] всюду, за исключением конечного числа точек x1, x2 , K, x p ( x1 < x2 <K< x p , a и b – конечные числа), и пусть f ( x) – ограниченная функция.

Символ

b
∫ f (x) dx	(*)

a

будем называть в этом случае несобственным интегралом функции f ( x) . Доопределим функцию f ( x) произвольным образом в точках

x1, x2 , K, x p . Новую функцию, которая определена уже во всем промежутке

~

[a, b] , обозначим через f (x) .

	~	(	)	b	~	*
Если функция				∫	f ( x) dx = J , то символу (		) припи-
	f (x) R [a, b] , причем

a

сывают числовое значение, полагая

b

∫ f (x) dx = J .

a

b

В этом случае говорят, что несобственный интеграл ∫ f (x) dx сходится.

a

55

Замечание. Если мы доопределим функцию f ( x) в точках x1, x2 , K, x p

иначе, то получим другую функцию	~	~	~		~	~
	f ( x) . Так как	f (x) =	f (x) +	f		(x) − f (x)

~ − ~

итак как f (x) f ( x) обращается в нуль всюду в [a, b] , за исключением точек

x1, x2 , K

функция

, x p ,

~

f (x)

то		~
	f (x) −

R([a, b]),

~			(	)			b	~
f (x)							∫		f (x) −
			R [a, b] , и
	~						a
то			(	)		, причем
	f (x) R [a, b]
	b		~	b	~
	∫		f ( x) dx = ∫		f (x) dx .

a

a

~

f (x) dx = 0 . Значит, если

Приходим к выводу: несобственный интеграл (*) не зависит от того, как доопределена функция f ( x) в точках x1, x2 , K, x p .

Примеры.

1	1			1
1. Пусть имеется ∫sin
	x dx . Здесь		f (x) = sin x определена в [0,1] всюду, за
0
исключением точки x = 0 ;	f (x) – ограниченная функция. Положим, например,
	~		1
				x (0,1],
	f (x) = sin x ,
			0,	x = 0.

~

f (x) определена уже во всех точках [0,1]. Она ограниченная в [0,1] и имеет

~

лишь одну точку разрыва x = 0 . Следовательно, f (x) R [0,1] , а значит,

( )

1

∫sin 1x dx сходится.

0

a

2. Пусть имеется ∫x ln x dx ( a > 0 – определенное число). Здесь f (x) = x ln x

0
определена в [0, a] всюду, за исключением точки x = 0 . Так как						lim	x ln x = 0 ,
то f (x) – ограниченная функция. Если положить						x→+0
	~	x ln x,		x (0, a],
	f (x) =		0,	x = 0,
	(				(	)
~		)		~			а значит,
то легко видеть, что f (x) C [0, a]			. Следовательно, f (x) R [0, a] ,

a

несобственный интеграл ∫x ln x dx ( a > 0 ) сходится.

0

56

§2. Несобственные интегралы II рода

(или несобственные интегралы от неограниченных функций)

I. Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, b] всюду, за исключением, быть может, точки a, в окрестности которой функция f (x) не ограничена (a и b – конечные числа). Пусть f (x) такая, что f (x) R([α, b]), где α – любое,

удовлетворяющее условию a < α < b . Символ

b
∫ f (x) dx	(*)
a	f (x) .
называется в этом случае несобственным интегралом II рода функции
Если существует конечный или бесконечный предел
b
J = α→lima+0 ∫ f (x) dx ,
α
то символу (*) приписывают числовое значение, полагая
b
∫ f (x) dx = J .
a

Если предел J – число конечное, то говорят, что несобственный интеграл (*) сходится. Если же предел J бесконечен или не существует, то говорят, что не-

собственный интеграл (*) расходится.
II. Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, b]	всюду, за исключе-
нием, быть может, точки b, в окрестности которой функция	f (x) не ограничена
	(	)
(a и b – конечные числа). Пусть функция f (x) такая, что f (x) R [a,β] , где β
– любое, удовлетворяющее условию a <β < b.
Символ
b
∫ f (x) dx		(**)

a

и в этом случае называется несобственным интегралом II рода функции f (x) .

Если существует конечный или бесконечный предел

β

J = lim ∫ f (x) dx ,

β→b−0 a

то символу (**) приписывают числовое значение, полагая

b

∫ f (x) dx = J .

a

57

Если предел J – число конечное, то говорят, что несобственный интеграл (**)

сходится. Если же предел J бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл (**) расходится.

III. Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, b] всюду, за исключением, быть может, точки c, в окрестности которой функция f (x) не ограничена

(a и b – конечные числа, a < c < b ).

Пусть функция f (x) интегрируема в любом замкнутом промежутке, содержащемся в [a, b] и не содержащем точку c. И в этом случае символ

b
∫ f (x) dx	(***)
a	f (x) .
называется несобственным интегралом II рода функции

Числовое значение символу (***) приписывают следующими двумя равно-

сильными способами.

Способ 1.

b c b

∫ f (x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .

a

a

c

c

Здесь в правой части ∫ f (x) dx – несобственный интеграл II рода типа (**),

a

b

∫ f (x) dx – несобственный интеграл II рода типа (*).

c

b

Несобственный интеграл ∫ f (x) dx называют сходящимся, если сходятся

	a
c	b

одновременно ∫ f (x) dx и ∫ f (x) dx .

a c

Способ 2.

b		c−γ′
∫	f (x) dx = γlim′→+0		∫ f (x) dx +
a	γ′′→+0		a

b
∫ f (x) dx
	.
c+γ′′

Важно заметить, что здесь γ′ → +0 и γ′′ → +0 по произвольным, не зависящим

друг от друга законам.

Замечание. Может оказаться, что не существует конечный

	c−γ′		b
γlim′→+0		∫ f (x) dx +	∫ f (x) dx	,
γ′′→+0		a	c+γ′′

58

когда γ′ → +0 и γ′′ → +0 по произвольным, не зависящим друг от друга законам, однако существует конечный предел

~

c−γ

b

∫

J = γ→+lim0

f (x) dx + ∫ f (x) dx .

~

a

c+γ

В этом случае предел

называют главным значением несобственного инте-

J

~

b

= v.p.∫ f ( x) dx .

грала (***) и пишут J

a

1

dx

1

Пример. Пусть имеется ∫

x . Здесь

f ( x) = x

определена в [−1,1] всюду, за

−1

исключением точки x = 0 , в окрестности которой

f ( x) не ограничена. Данный

интеграл – несобственный интеграл II рода типа (***).

Имеем

−γ′

1

γlim′→+0 [ln (−x)

′′]=

γlim′→+0

∫

dxx

+ ∫dxx =

xx=−=−γ1

′ +ln x

xx=γ=1

γ′′→+0

−1

γ′′

γ′′→+0

=

lim

[ln γ′

−ln γ′′]

= lim

ln

γ′

.

γ′→+0

γ′→+0

γ′′

γ′′→+0

γ′′→+0

Этот предел не существует, когда γ′ → +0

и γ′′ → +0 по произвольным, не за-

висящим друг от друга законам. Однако

−γ

1

γ

γ→+lim0 ∫dxx

+ ∫dxx

=

γ→+lim0 ln

= 0 .

γ

−1

γ

1

Вывод: v.p. ∫dxx

= 0 .

−1

§3. Признаки сходимости несобственных интегралов II рода

Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы II рода типа (**). Утверждения, которые будут установлены для них, легко переносятся

на несобственные интегралы II рода типов (*) и (***). Поэтому во всех теоремах, рассматриваемых ниже, предполагается, что функция f ( x) определена в промежутке [a, b] всюду, за исключением, быть может, точки b, в окрестности которой f ( x) не ограничена. Кроме того, предполагается, что f ( x) R([a,β]), где β – любое, удовлетворяющее условию a <β < b (рис. 2.1, 2.2).

59

y

y

		~		b
	x		β	x
~		a a
	β b
a a
	Рис. 2.1		Рис. 2.2
Теорема 1. Пусть a – любое число,		удовлетворяющее условию a < a < b .
	~			~
	b	b
Тогда несобственные интегралы ∫ f (x) dx		и ∫ f (x) dx сходятся или расходятся
	a	~
		a

одновременно.

Возьмем β – любое, удовлетворяющее условию a~ <β < b . Имеем

	β
	∫
	a
	b
а)	Пусть ∫ f (x) dx
	~
	a
	β
lim	∫ f (x) dx . Но тогда
β→b−0	~
	a

~	β
a

f (x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .			(1)
a		~
		a
сходится		существует конечный	предел
			β
из (1): существует конечный предел β→limb−0			∫ f (x) dx
			a

b

∫ f (x) dx сходится.

a	b
б)	Пусть ∫ f (x) dx	сходится		существует конечный	предел
	a
	β				β
lim	∫ f (x) dx . Но тогда из (1): существует конечный предел lim				∫ f (x) dx
β→b−0	a			β→b−0	~
b					a
∫ f (x) dx сходится.
~
a
Замечание. В случаях а) и б) имеем
	b	~		b
		a
	∫	f (x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .
	a	a		~
				a

60