Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

B

dx

1

1

B

1

1

1

∫

λ =

=

−

1

−

λ

λ−1

1−

λ−1

λ−1

a

x

x

a

λ

B

a

B dx

1

1

если λ >1, то

Blim→+∞

∫xλ

=

(определенное число); если λ <1, то

λ −1

aλ−1

B

a

lim

∫dxλ = +∞.

B→+∞

a

x

Пусть λ =1. Имеем

B

B

∫dxx

= ln x

aB = ln B −ln a

Blim→+∞ ∫dxx = +∞.

a

+∞

a

dxλ ,

Вывод: несобственный интеграл

∫

a > 0 , сходится, если λ >1, и расходит-

a

x

ся, если λ ≤1.

Примеры.

+∞

dx

1. Исследовать сходимость интеграла J = ∫

.

3 2

1

1 x

x

+1

f ( x) =

определена

и

непрерывна

в

промежутке [1, +∞)

x 3

x2 +1

(

)

f ( x) R [1, B] , где B – любое, удовлетворяющее условию B >1. J – несобст-

венный интеграл I рода. Так как

f ( x) =

1

~

1

, то в качестве функ-

1

x 3 x2 +1 x→+∞ x5 3

ции g( x) следует взять g( x) =

. Тогда

x5 3

f (x)

x5 3

lim

=

lim

=1

(≠ 0, ≠ ∞) .

3

2

x→+∞ g( x)

x

→+∞

x

x

+1

+∞

dx

сходится ( λ = 5

Было показано, что

∫

>1). Значит,

несобственный инте-

5 3

1

x

3

грал J тоже сходится.

+∞

2. Исследовать сходимость интеграла J = ∫x p−1e−x dx .

f ( x) = x p−1e−x . Если

0

Здесь

p ≥1,

то f ( x)

определена и непрерывна на

промежутке [0, +∞); Если

p <1, то

f ( x)

определена и непрерывна на проме-

жутке (0, +∞); f ( x)

– неограниченная в правой полуокрестности точки x = 0 .

81

Поэтому представляем J в виде суммы двух интегралов J = J1 + J2 , где

1	+∞
J1 = ∫x p−1e−x dx , а J2 = ∫x p−1e−x dx .
0	1
	1

Рассмотрим J1 = ∫x p−1e−x dx . Если p ≥1, то J1 – собственный интеграл; ес-

0

ли p <1, то J1 – несобственный интеграл II рода. Точка x = 0 –

p−1 −x

e−x

особая точка этого интеграла. Так как

f ( x) = x

e

=

~

1

x1−p x→+0

честве функции g( x) следует взять g( x) =

. Тогда

x1−p

f ( x)

x1−pe−x

lim

= lim

= lim e

−x

=1

(≠ 0,

≠ ∞) .

g(x)

x1−p

x→+0

x→+0

x→+0

единственная

1 , то в ка- x1−p

	1	1	dx
	Имеем: ∫g(x) dx = ∫			сходится, если 1− p <1, и расходится, если 1− p ≥1.
			1−p
	0	0	x

Следовательно, и несобственный интеграл J1 сходится, если p > 0 , и расходит-

+∞

ся, если p ≤ 0 . Рассмотрим теперь J2 = ∫x p−1e−x dx .

f ( x) = x p−1e−x

1

Здесь

определена и непрерывна на промежутке [1,+ ∞)

(

)

, где B – любое, удовлетворяющее условию B >1. J

2

– несобст-

f ( x) R [1, B]

венный интеграл I рода.

x p+1

Мы знаем, что при любом p:

lim

= 0 . Последнее означает, что любому

ex

x→+∞

~

~

ε > 0 ( в частности, ε =1 > 0 ) отвечает число x (можно считать, что x >1), та-

~

x p+1

x p−1

1

~

кое, что для x ≥ x будет:

<1 при любом p:

<

для x

≥ x . Значит,

ex

ex

x2

1

+∞

+∞ dx

в качестве функции g( x) следует взять

g( x) =

.

Имеем: ∫g(x) dx = ∫

2

x

2

x

1

1

+∞

dx2 сходится

+∞

+∞

сходится ∫

∫x p−1e−x dx сходится

∫x p−1e−x dx сходится

~

x

~

1

x

x

при любом p.

Итак, получили: J1 сходится при p > 0 и расходится при p ≤ 0 , J2 сходится при любом p. Вывод: несобственный интеграл J сходится при p > 0 и расходится при p ≤ 0 .

82

				+∞ xm arctg x
	3. Исследовать сходимость интеграла J = ∫							dx ( n > 0 ).
					2	+ x	n
				0
		xm arctg x
	Здесь f ( x) =			( n > 0 ). Если m ≥ 0 , то			f ( x) определена и непре-
		2	+ xn

рывна на промежутке [0, +∞). Если m < 0 , то f ( x) определена и непрерывна на промежутке (0, +∞); f ( x) не определена в точке x = 0 , причем f ( x) – ограни-

ченная в окрестности точки x = 0 , если −1 ≤ m < 0 , и неограниченная, если m < −1. Поэтому представляем J в виде суммы двух интегралов: J = J1 + J2 , где

1	xm arctg x	+∞ xm arctg x		1	xm arctg x
J1 = ∫		dx , J2 = ∫		dx . Рассмотрим J1 = ∫		dx .
	2 + xn		2 + xn		2 + xn
0		1		0

Если m ≥ 0 , то J1 – собственный интеграл. Если −1 < m < 0 , то

lim f (x) = lim		xm arctg x			= lim	xm+1	= 0
		2 + xn				2 + xn
x→+0	x→+0				x→+0
f ( x) ограниченная в окрестности точки x = 0 , и следует рассмотреть функ-
цию	~	f (x),	x (0,1]
	f (x) =
		0, x = 0.

~

(

)

1

~

Ясно, что

∫

f ( x) dx

существует,

и, следовательно, несобст-

f (x) C [0,1]

0

венный интеграл J1 сходится, если −1 < m < 0 .

Если m = −1, то

arctg x

x

1

= 1

lim f ( x) = lim

= lim

= lim

2 + xn

x→+0

x→+0 x (2 + xn )

x→+0 x (2 + xn )

x→+0

2

f ( x) –

ограниченная в окрестности точки

x = 0 , и следует рассмотреть

функцию

f (x),

x (0,1]

~

1

f (x) =

,

x = 0.

2

1

~

(

)

~

∫

f ( x) dx существует. Значит, и в этом случае несоб-

Так как f (x) C [0,1] , то

0

ственный интеграл J1 сходится. Пусть теперь m < −1. Имеем в этом случае

f ( x) =

xm arctg x

~

1

1

.

2 + xn

x→+0

2

x−m−1

83

В

качестве

функции

g( x)

следует

взять

g( x) =

1

.

Имеем:

2x−m−1

1

1

1

dx

∫g(x) dx = 2

∫

сходится, если −(m +1) <1, т. е. если m > −2 , и расходит-

x−( m+1)

0

0

ся, если −(m +1) ≥1, т. е. если m ≤ −2 .

Объединяя все рассмотренные выше случаи, приходим к выводу, что инте-

грал J1 сходится, если m > −2 , и расходится, если m ≤ −2

( n > 0 , по условию).

+∞ xm arctg x

Рассмотрим теперь J2 = ∫

dx , n > 0

( J2 имеет смысл исследовать

2 + xn

1

xm arctg x

лишь при m > −2 ). Здесь

f ( x) =

C [1, +∞)

)

f ( x) R [1, B] , где B

2 + xn

(

(

)

– любое, удовлетворяющее условию

B >1 J2

– несобственный интеграл I

рода. Имеем

xm arctg x

f ( x) =

=

arctg x

~

π

.

2 + xn

n−m

2xn−m

x

2 x→+∞

1+

n

xn

Поэтому в качестве функции g( x)

следует

взять g( x) = π

1

. Несобственный инте-

xn−m

n =m+1

2

+∞

π

+∞

dx

грал

∫g(x) dx =

∫

сходится,

если

2

n−m

1

1

x

m

n − m >1, и расходится, если n − m ≤1. Зна-

чит,

и несобственный интеграл J2

сходит-

−

2

ся,

если

n − m >1,

и

расходится,

если

Рис. 2.5. К примеру 3

n − m ≤1.

Заштрихованная часть верхней полу-

плоскости ( n > 0 ) – область сходимости не-

собственного интеграла J. Она определяется неравенствами

n > 0,

m > −2,

> m +1.

n

Незаштрихованная часть верхней полуплоскости ( n > 0 ) – область, в которой несобственный интеграл J расходится. Она состоит из двух частей. Одна из этих частей определяется неравенствами

n > 0,m ≤ −2, ,

84

другая – неравенствами

n > 0,

m > −2,n ≤ m +1.

§8. Общий признак сходимости несобственного интеграла первого рода

Прежде чем сформулировать общий признак сходимости несобственного интеграла первого рода, вспомним общий признак существования конечного предела у функции ϕ( B) , заданной в промежутке [a, +∞) при B → +∞.

Для того, чтобы у функции ϕ( B) , заданной на промежутке [a, +∞) , существовал конечный предел при B → +∞, необходимо и достаточно, чтобы любому ε > 0 отвечало число M такое, что как только B1 > M и B2 > M , так сейчас же

ϕ( B2 ) −ϕ( B1) < ε.

+∞

Мы знаем, что сходимость несобственного интеграла ∫ f (x) dx равносильна

			a
			B
существованию конечного предела при	B → +∞ у функции ϕ(B) = ∫ f (x) dx .
Имеем			a
B2	B1	B2
ϕ(B2 ) −ϕ( B1) = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx = ∫			f ( x) dx .
a	a	B1

Следовательно, справедлива теорема:

+∞

Теорема. Для сходимости несобственного интеграла ∫ f (x) dx необходимо

				a
и достаточно, чтобы любому ε > 0 отвечало число M (ε) такое, что как только
	B2
B1 > M , B2 > M , так сейчас же	∫ f (x) dx		< ε.
	B1
Замечание. В общем признаке сходимости функция				f ( x) может принимать
в [a, +∞) значения разных знаков.
§9. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы первого рода
Пусть функция f ( x) задана в [a, +∞) и такова, что				(	)
				f ( x) R [a, B] , где B –

любое, конечное ( B > a ).

85

+∞

Если несобственный интеграл ∫ f ( x) dx сходится, то несобственный инте-

a

+∞

грал ∫ f (x) dx называют абсолютно сходящимся.

a

+∞

Теорема 1. Если сходится несобственный интеграл ∫ f ( x) dx , то несобст-

+∞

a

+∞

венный интеграл

∫ f (x) dx

также сходится (т.е. из сходимости ∫

f ( x)

dx

сле-

a

a

+∞

дует сходимость

∫ f (x) dx ).

a

+∞

Возьмем ε > 0

– любое. По условию, ∫

f ( x)

dx сходится

взятому

a

ε > 0 отвечает число

M (ε)

такое, что как только B1 > M ,

B2 > M (для опреде-

B2

ленности можно считать, что B2 > B1), так сейчас же ∫

f (x)

dx < ε.

B1

B2

B2

Мы знаем, что

∫ f (x) dx

≤ ∫

f (x)

dx . Поэтому если

B2 > B1 > M (ε) ,

то и

B1

B1

B2

подавно

∫ f (x) dx

< ε. Последнее означает,

что несобственный интеграл

B1

+∞

∫ f (x) dx сходится.

a

Замечание. Доказанная теорема позволяет использовать для установления сходимости некоторых несобственных интегралов признаки, установленные для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Правда, здесь

+∞

следует иметь в виду следующее: если оказывается, что ∫ f ( x) dx расходится,

a

+∞

то это совсем не означает, что расходится ∫ f (x) dx . Могут иметь место случаи,

a

86

+∞

+∞

когда ∫ f ( x) dx расходится, а ∫ f (x) dx сходится. В этих случаях про несобст-

a

a

+∞

венный интеграл ∫ f (x) dx говорят, что он сходится условно.

a

Теорема 2. Пусть f (x) ≤ g(x) хотя бы для x [b, +∞) ( b ≥ a ). Тогда из

+∞

сходимости несобственного интеграла ∫g(x) dx следует сходимость (и притом

a

+∞

абсолютная) несобственного интеграла ∫ f (x) dx .

a

+∞

По первому признаку сравнения из сходимости ∫g(x) dx следует сходи-

a

+∞

мость ∫ f ( x) dx по теореме 1 делаем заключение о сходимости (и притом

a

+∞

абсолютной) несобственного интеграла ∫ f (x) dx .

a

+∞

Теорема 3. Пусть имеется несобственный интеграл ∫ f (x) g( x) dx . Пусть

a

функция g( x) – ограниченная на [a, +∞) , т.е. существует L > 0 такое, что

+∞

g(x) ≤ L , x [a, +∞) . Пусть ∫ f (x) dx сходится абсолютно (т.е. сходится

a

+∞ +∞

∫ f ( x) dx ). Тогда ∫ f (x) g( x) dx сходится абсолютно.

a

a

Имеем

f (x) g(x)

=

f (x)

g(x)

≤ L

f ( x), x [a, +∞) .

+∞

+∞

По

условию, ∫

f ( x)

dx

сходится

∫L

f ( x)

dx сходится

+∞

a

+∞

a

∫

f ( x) g( x)

dx сходится

∫ f (x) g( x) dx сходится абсолютно.

a

a

87

* §10. Признак Абеля – Дирихле

Этот признак позволяет устанавливать сходимость несобственных интегралов в ряде случаев, когда абсолютная сходимость отсутствует.

+∞

Теорема. Пусть имеется несобственный интеграл ∫ f (x) g( x) dx . Пусть

a

1)f ( x) определена и непрерывна на промежутке [a, +∞) и имеет там ограниченную первообразную F( x) ;

2)g( x) определена на промежутке [a, +∞) и имеет там непрерывную про-

изводную g′( x) ;

3)	g( x)	монотонно убывает на [a, +∞) ( g′(x) ≤ 0 ,	x [a, +∞) );
4)	lim	g( x) = 0 ( g( x) ≥ 0 , x [a, +∞) ).
	x→+∞
	+∞
Тогда	∫ f (x) g( x) dx сходится.
	a		B > a , и рассмотрим
	Возьмем B – любое, удовлетворяющее условию

B

∫ f (x) g(x) dx . Теорема будет доказана, если мы покажем, что существует ко-

a

B

нечный предел J = lim ∫ f ( x) g( x) dx .

B→+∞ a

По условию, F( x) – первообразная для f ( x) на [a, +∞) F′( x) = f ( x) ,

B B

x (a, +∞) . Поэтому ∫ f (x) g(x) dx = ∫F′(x) g(x) dx . Применяя формулу ин-

a	a
тегрирования по частям в определенном интеграле, получим
B			B
∫F′(x) g(x) dx = F(x) g(x)			xx==aB − ∫F(x) g′( x) dx
a			a
B			B
∫ f (x) g(x) dx = F( B) g( B) − F(a) g(a) − ∫F( x) g′( x) dx .				(1)
a			a

88

Так как F( B) – ограниченная на [a, +∞) , а g( B) →0 , то

lim F( B) g( B) = 0.

B→+∞

B→+∞

B

А тогда из (1) ясно, что Blim→+∞ ∫ f (x) g(x) dx будет существовать и будет конеч-

a

ным, если существует конечный предел

B

Blim→+∞ ∫F(x) g′( x) dx .

(2)

a

Рассмотрим

B

∫

F(x) g′(x)

dx .

(3)

Имеем

a

B

B

B

∫

F(x) g′( x)

dx = ∫

F( x)

g′( x)

dx ≤ L ∫

g′( x)

dx =

a

B

a

a

x=B = L g(a) − L g( B) ≤ L g(a) .

= −L

∫

g′( x) dx = −L g( x)

x=a

124 43

a

≥0

B

Получаем: ∫ F(x) g′(x) dx монотонно возрастает вместе с B и ограничен свер-

a

ху числом

L g(a) при любом

B [a, +∞)

существует конечный предел

B

+∞

+∞

Blim→+∞

∫

F( x) g′(x)

dx ∫

F(x) g′( x)

dx

сходится ∫F(x) g′(x) dx схо-

a

a

B

a

дится

существует конечный

Blim→+∞ ∫F(x) g′( x) dx . А тогда из (1) следует,

B

a

что существует конечный Blim→+∞

∫ f (x) g(x) dx .

a

Примеры.

1. Исследовать сходимость интеграла J = +∞∫ sinx2 x dx .

0

89

Здесь

f ( x) =

sin2 x

(

)

x = 0

f ( x) не определена. По-

x

C

(0, +∞) . В точке

этому

представляем

J

в

виде

суммы

двух

интегралов:

J = J1 + J2 , где

1

sin2 x

+∞

sin2 x

J1 = ∫

dx , J2 = ∫

dx .

x

x

0

1

1

sin2 x

Рассмотрим J1 = ∫

dx . Точка x = 0 – единственная особая точка этого

x

0

sin2 x = 0 f ( x)

интеграла. Имеем

lim

f ( x) = lim

– ограниченная функция

на (0,1]. Положим

x→+0

x→+0

x

~

=

f ( x),

x (0,1];

f (x)

x = 0.

~

(

)

~

0,

1

(

)

Ясно, что f (x)

C [0,1]

f (x)

R [0,1] . Значит, несобственный интеграл J

сходится.

+∞

sin2 x

Рассмотрим J2 = ∫

dx . Имеем

x

+∞

1

+∞

+∞

~

~

J2 = ∫ 1−cos2x

2x dx = 12 ∫ dxx

− 12 ∫ cosx2x dx = J2 − J2 .

1

123

1

1442443

~

~

=J2

=J2

~

~

– частный случай интеграла 1

+∞

dx , который расходится,

∫1

J2 – расходится ( J

2

~

2

xλ

если

λ ≤1).

Займемся

.

Положим

f

( x) = 1 cos 2x , g

( x) = 1 .

интегралом J

2

1

2

1

x

Имеем:

(

)

1

и имеет на промежутке [1, +∞) ограниченную

1)

f (x) = 1 cos 2x C [1, +∞]

2

первообразную F ( x) = 1 sin 2x ;

1

4

g ( x) = 1

2)

определена на [1, +∞)

и имеет там непрерывную производную

1

x

1

g′(x) = −

( g

′( x) < 0 , x [1, +∞) );

1

x2

1

3)

g1( x) монотонно убывает на [1, +∞) ;

4)

lim g (x) = lim

1

= 0

x→+∞

1

x→+∞ x

90