Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

ε > 0 отвечало δ > 0 такое, что как только b −δ <β′ < b и b −δ <β′′ < b , так сей-

час же ϕ(β′′) −ϕ(β′) < ε.

Пусть	f ( x) задана в [a, b] всюду, за исключением, быть может, точки b, и
является	неограниченной в окрестности точки		b. Пусть f ( x) такая, что
(	)
f ( x) R [a,β] , где β – любое, удовлетворяющее условию a <β < b . Подчерк-
нем, что	f ( x) может принимать в [a, b) значения разных знаков. Мы знаем, что
		b
сходимость несобственного интеграла		∫ f ( x) dx	равносильна существованию
	β	a
конечного предела у функции ϕ(β) = ∫ f ( x) dx при β→ b −0 .
	a
Имеем
	β′′	β′	β′′
	ϕ(β′′) −ϕ(β′) = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx .
	a	a	β′

Следовательно, справедлива теорема:

b

Теорема. Для сходимости несобственного интеграла ∫ f ( x) dx необходимо

a

и достаточно, чтобы любому ε > 0 отвечало число δ > 0 такое, что как только

β′′

b −δ <β′ < b и b −δ <β′′ < b , так сейчас же ∫ f ( x) dx < ε.

β′

§5.Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы II рода

Пусть f ( x)		задана в [a, b]				всюду, за исключением, быть может,				точки b, и
не является	ограниченной				в	окрестности точки			b. Пусть f ( x)	такая, что
(	)	где β –	любое, удовлетворяющее условию a <β < b . Если не-
f ( x) R [a,β] ,
			b
собственный	интеграл		∫		f ( x)			dx сходится, то	несобственный	интеграл

a

b

∫ f ( x) dx называют абсолютно сходящимся.

a

71

b

Теорема 1.

Если несобственный интеграл ∫

f ( x)

dx сходится, то несобст-

b

a

венный интеграл ∫ f (x) dx также сходится.

a

b

Возьмем ε > 0 – любое. По условию ∫

f ( x)

dx

сходится взятому ε > 0

a

отвечает δ > 0

такое,

что как только b −δ < β′ < b,

b −δ < β′′ < b , так сейчас же

β′′

∫

f (x)

dx

< ε .

β′

β′′

β′′

β′′

Имеем

∫ f (x) dx

≤

∫

f ( x)

dx

. Поэтому и

подавно

∫ f (x) dx

< ε, если

β′

β′

β′

b

b −δ < β′ < b, b −δ < β′′ < b

∫ f (x) dx сходится.

a

b

Замечание. Теорема 1

необратима, т.е. из сходимости интеграла ∫ f (x) dx

b

a

не следует сходимость ∫

f ( x)

dx .

a

~

~

Теорема 2. Пусть

f (x)

≤ g(x) хотя бы для

x [a , b),

a ≤ a < b . Тогда из

b

сходимости несобственного интеграла ∫g(x) dx следует сходимость (и притом

a b

абсолютная) несобственного интеграла ∫ f (x) dx .

a

b

По первому признаку сравнения (см. теорему 3) из сходимости ∫g(x) dx

a

b

следует сходимость ∫ f ( x) dx по теореме 1 делаем заключение о сходимо-

a

b

сти (и притом абсолютной) несобственного интеграла ∫ f (x) dx .

a

72

				b
Теорема 3. Пусть имеется несобственный интеграл ∫ f (x) g(x) dx .
				a
1)			Пусть g( x) –	ограниченная на [a, b] , т.е. существует L > 0 такое, что
g(x)		≤ L , x [a, b].
			b	b
2)			Пусть ∫ f (x) dx сходится абсолютно, т.е. сходится ∫			f ( x)		dx .
			a	a

b

Тогда ∫ f (x) g(x) dx сходится абсолютно.

a

Имеем

f (x) g(x) = f ( x) g(x) ≤ L f ( x), x [a, b) .

b

b

b

По условию ∫

f ( x)

dx сходится

∫L

f ( x)

dx сходится

∫

f ( x) g( x)

dx

a

a

a

b

сходится ∫ f (x) g(x) dx сходится абсолютно.

a

§6. Несобственные интегралы первого рода (или несобственные интегралы по бесконечному промежутку)

I. Пусть функция f ( x)	определена в [a, +∞)	(a – конечное число). Пусть
(	)
f ( x) такая, что f ( x) R [a, B] , где B – любое конечное число, удовлетворяю-
щее условию B > a .
Символ	+∞
	∫ f (x) dx	(1)

a

называют несобственным интегралом первого рода функции f ( x) .

Если существует конечный или бесконечный предел

B

J = lim ∫ f ( x) dx ,

B→+∞ a

то символу (1) приписывают числовое значение, полагая

+∞

∫ f (x) dx = J .

a

73

Если предел J – число конечное, то говорят, что несобственный интеграл (1) сходится. Если же предел J бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл (1) расходится.

II. Пусть функция f ( x) определена в (−∞, b] (b – конечное число), и пусть

(	)
f ( x) такая, что f ( x) R [ A, b] , где A – любое конечное число, удовлетворяю-
щее условию A < b .
Символ	b
	∫ f ( x) dx	(2)

−∞

называют несобственным интегралом первого рода функции f ( x) . Если существует конечный или бесконечный предел

b

J = lim ∫ f ( x) dx ,

A→−∞ A

то символу (2) приписывают числовое значение, полагая

b

∫ f ( x) dx = J .

−∞

Если предел J – число конечное, то говорят, что несобственный интеграл (2) сходится. Если же предел J бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл (2) расходится.

III. Пусть функция f ( x) определена на промежутке (−∞, +∞) . Пусть функция f ( x) интегрируема на любом конечном промежутке вещественной оси.

Символ

+∞
∫ f ( x) dx	(3)
−∞	f ( x) .
называют несобственным интегралом первого рода функции

Числовое значение символу (3) приписывают следующими двумя равносильными способами.

Способ 1.

+∞

b

a

+∞

∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .

−∞

−∞

b

a

74

b

Здесь в правой части ∫ f ( x) dx – несобственный интеграл первого рода типа (2),

−∞

+∞

∫ f (x) dx – несобственный интеграл первого рода типа (1), b и a – конечные,

a

любые.

Способ 2.

+∞	B
∫ f ( x) dx =	Alim→−∞ ∫ f (x) dx ,
−∞	B→+∞ A

Важно заметить, что здесь A → −∞, B → +∞ по произвольным, не зависящим

друг от друга законам.

Замечание. Может оказаться, что не существует конечный предел

B

Alim→−∞ ∫ f (x) dx ,

B→+∞ A

когда A → −∞, B → +∞ по произвольным, не зависящим друг от друга законам, однако существует конечный предел

		~		A
			= Alim→+∞ ∫ f (x) dx .
		J
		~		−A
	В этом случае предел
		J называют главным значением несобственного инте-
	~	+∞
	грала (3) и пишут J = v.p. ∫ f (x) dx .
		−∞
		+∞	1+ x		1+ x
	Пример. Пусть имеется ∫			dx . Здесь f ( x) =		определена и не-
			2		2
		−∞	1+ x		1+ x

прерывна на промежутке (−∞, +∞) и, следовательно, интегрируема на любом

конечном промежутке вещественной оси. Данный интеграл – несобственный интеграл I рода.

Имеем

B

Alim→−∞ ∫11++xx2

B→+∞ A

= lim arctg B

BA→+∞→−∞

dx = lim

x=B

+

1

ln

(1+ x

2

)

x=B

=

arctg x

x=A

2

A→−∞

x=A

B→+∞

−arctg A +

1

ln

1+ B2

= π+

lim

1

ln

1

+ B2

.

2

1

+ A2

1+ A2

A→−∞ 2

B→+∞

75

Ясно, что lim

1 ln

1+ B2

не

существует, когда

A → −∞,

а

B → +∞ по

A→−∞

2

1+ A2

B→+∞

произвольным, не зависящим друг от друга законам. Однако

A

1+ x

1

1+ A2

lim

∫

dx =

lim

arctg A −arctg (−A) +

2

ln

2

= π.

1+ x

2

1+ A

A→+∞

−A

A→+∞

+∞

1+ x

Вывод: v.p. ∫

dx = π.

2

−∞

1+ x

§7. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода

Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы первого рода типа (1). Утверждения, которые будут установлены для них, легко переносятся на несобственные интегралы первого рода типа (2), а следовательно, и типа (3).

Поэтому во всех рассматриваемых ниже теоремах предполагается, что функция f ( x) определена в промежутке [a, +∞) , и f ( x) R([a, B]), где B – лю-

бое конечное число, удовлетворяющее условию B > a .

Теорема 1. Пусть b – конечное число, любое, но такое, что b > a . Тогда не-

		+∞			+∞
собственные интегралы ∫ f (x) dx				и	∫ f (x) dx сходятся или расходятся одно-
временно.		a			b
	Возьмем число B конечное, любое, но такое, что B > b ( B > a ). Имеем
		B		b		B
		∫ f (x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .						(1)
		a		a		b
		+∞
1)	Пусть	∫ f (x) dx	сходится			существует	конечный	предел
	B	a
Blim→+∞	∫ f (x) dx .	Но тогда	из (1)	следует,		что существует	конечный	предел
	a
	B	+∞
Blim→+∞	∫ f (x) dx	∫ f (x) dx сходится.
	b	b

76

		+∞
2)	Пусть	∫ f (x) dx	сходится		существует	конечный	предел
	B	b
Blim→+∞	∫ f (x) dx .	Но тогда	из (1) следует,		что существует	конечный	предел
	b
	B	+∞
Blim→+∞	∫ f (x) dx	∫ f (x) dx сходится.
	a	a

+∞

3) Пусть ∫ f (x) dx – расходится. Нужно доказать, что расходится и

a

+∞

∫ f (x) dx .

b

+∞

Рассуждаем от противного. Допустим, что ∫ f (x) dx сходится. Но тогда по

b

+∞

пункту 2) должен сходиться ∫ f (x) dx , а это не так.

a

+∞

4) Пусть ∫ f (x) dx – расходится. Нужно доказать, что расходится и

b

+∞

∫ f (x) dx .

a

+∞

Рассуждаем от противного. Допустим, что ∫ f (x) dx сходится. Но тогда по

a

+∞

пункту 1) должен сходиться ∫ f (x) dx , а это не так.

b

Пусть функция f ( x) ≥ 0 хотя бы для x [b, +∞) ( b ≥ a ). Пусть число B –

B

конечное, любое, но такое, что B > b. Ясно, что ∫ f (x) dx (= ϕ( B)) представля-

b

ет собой функцию от B, определенную в [b, +∞) и неубывающую там. Мы зна-

+∞

ем, что сходимость несобственного интеграла ∫ f (x) dx равносильна сущест-

b

77

B

вованию конечного предела у функции ϕ(B) = ∫ f (x) dx при B → +∞. Но для

b

существования конечного предела при B → +∞ у функции ϕ( B) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K > 0 такое, чтобы было

B

ϕ(B) = ∫ f (x) dx ≤ K , для любого B ( B > b).

b

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Если f ( x) ≥ 0 хотя бы для x [b, +∞) ( b ≥ a ), то для сходимо-

+∞

сти несобственного интеграла ∫ f (x) dx (а значит, и несобственного интеграла

b

+∞

∫ f (x) dx ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K > 0 такое,

a

B

что ∫ f (x) dx ≤ K , для любого B ( B > b).

b

Теорема 3 (первый признак сравнения). Пусть f ( x) ≥ 0 , g( x) ≥ 0 хотя бы для x [b, +∞) ( b ≥ a ). Пусть f ( x) ≤ g( x) , x [b, +∞) . Тогда:

	+∞		+∞
1)	из сходимости ∫g(x) dx следует сходимость ∫ f (x) dx ;
	a		a
		+∞	+∞
2)	из расходимости	∫ f (x) dx следует расходимость		∫g(x) dx .
		a		a
	Возьмем число B конечное, любое, но такое, что B > b. Имеем
		B	B
		0 ≤ ∫ f (x) dx ≤ ∫g(x) dx .		(2)
		b	b
	+∞		+∞
1)	Пусть ∫g(x) dx	сходится	∫g(x) dx сходится	существует число
	a		b

B

K > 0 такое, что ∫g(x) dx ≤ K , для любого B ( B > b). Но тогда из (2) следует,

b

78

B	+∞
что ∫ f (x) dx ≤ K , для любого B > b	по теореме 2: ∫ f (x) dx сходится
b	b
+∞
∫ f (x) dx сходится.
a
+∞	+∞

2) Пусть ∫ f (x) dx расходится. Нужно доказать, что расходится и ∫g(x) dx .

a	a
	+∞

Рассуждаем от противного. Допустим, что ∫g(x) dx сходится. Но тогда по

a

+∞

пункту 1) должен сходиться ∫ f (x) dx , а это не так.

a

Теорема 4 (второй признак сравнения). Пусть f ( x) > 0 , g( x) > 0 хотя бы для x [b, +∞) ( b ≥ a ). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

l = lim		f (x)	(l ≠ 0, l ≠ ∞) .
x→+∞ g( x)
	+∞		+∞
Тогда несобственные интегралы	∫ f (x) dx и ∫g(x) dx сходятся или расходятся
	a		a

одновременно.	l ≠ 0 , l ≠ ∞. Ясно, что
По условию,
l > 0 . Возьмем ε > 0	– любое, но такое, что
l −ε > 0 . По условию l = lim		f (x)	взя-
	x→+∞ g( x)

тому ε > 0 отвечает число bε (можно считать bε > b ) такое, что

gf ((xx)) −l < ε, если x ≥ bε

0 l−ε l l+ε

Рис. 2.4. К доказательству теоремы 4

	l −ε <	f ( x)	< l +ε,	x [b	, +∞)
		g(x)		ε
	p g( x) < f (x) < q g( x), x [bε, +∞) .					(3)

(Здесь положено p = l − ε, q = l +ε ; p > 0 , q > 0 – определенные числа).

79

		+∞	+∞			+∞
1) Пусть		∫g(x) dx сходится	∫g(x) dx	сходится	∫q g(x) dx схо-
		a	bε			bε
(3)	+∞		+∞
дится	∫ f (x) dx сходится ∫ f (x) dx сходится.
	bε		a
		+∞	+∞		(3)	+∞
2) Пусть		∫ f (x) dx сходится	∫ f (x) dx	сходится		∫p g(x) dx схо-
		a	bε			bε
	+∞		+∞
дится ∫g(x) dx сходится ∫g(x) dx сходится.
	bε		a
		+∞			+∞
3) Пусть		∫g(x) dx расходится. Нужно доказать, что и			∫ f (x) dx расходится.
		a			a

+∞

Рассуждаем от противного: допустим, что ∫ f (x) dx сходится. Но тогда, по

a

+∞

пункту 2), ∫g(x) dx должен сходиться, а это не так.

a

+∞

+∞

4) Пусть ∫ f (x) dx расходится. Нужно доказать, что расходится и ∫g(x) dx .

a

a

+∞

Рассуждаем от противного: допустим, что ∫g(x) dx сходится. Но тогда, по

a

+∞

пункту 1), ∫ f (x) dx должен сходиться, а это не так.

a

Замечание. Применение теоремы 4 для исследования несобственного инте-

+∞

грала ∫ f (x) dx требует знания некоторой "эталонной" функции g( x). Довольно

a

часто в роли такой "эталонной" функции выступает g(x) = x1λ , x [a, +∞) , a > 0 .

+∞

Поэтому важно знать, что несобственный интеграл ∫a xdxλ ( a > 0 ) сходится, если

λ>1, и расходится, если λ ≤1.

Пусть λ ≠1. Имеем

80