Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

b	b
в) Пусть ∫ f (x) dx расходится. Нужно показать, что и ∫ f (x) dx расходится.
a	~
	a
b
Рассуждаем от противного. Допустим, что ∫ f (x) dx	сходится. Но тогда по
~
a
b
пункту а) должен сходиться ∫ f (x) dx , а это не так.
a
b	b

г) Пусть ∫ f (x) dx расходится. Нужно показать, что и ∫ f (x) dx расходится.
	~	a
	a
		b
Рассуждаем от противного. Допустим, что		∫ f (x) dx сходится.	Но тогда по
	b	a
пункту б) должен сходиться ∫ f (x) dx , а это не так.
	~
Пусть	a		любое число,
	f ( x) ≥ 0 хотя бы для x [a , b), a ≤ a < b . Пусть β –
	~	~
		β

удовлетворяющее условию	~	< β < b . Нетрудно понять, что	∫ f (x) dx представ-
	a
			~
			a

ляет собой переменную величину, возрастающую вместе с увеличением β. Мы знаем, что для существования конечного предела у такой переменной при β → b − 0 необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху, т.е.

чтобы существовало число K > 0 такое, что

	β
	∫ f (x) dx ≤ K ,
	~
	a	~
	для любого β, удовлетворяющего условию		< β < b . Таким образом, доказана
		a

следующая теорема.

Теорема 2. Если f ( x) ≥ 0 хотя бы для x [a~, b) ( a ≤ a~ < b ), то для сходимо-

b

сти несобственного интеграла ∫~ f (x) dx (а значит, и несобственного интеграла

a

b

∫ f (x) dx ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K > 0 такое,

a

β

что ∫ f (x) dx ≤ K , β ~ .

(a , b)

~

a

61

для	Теорема 3 (первый признак сравнения). Пусть f ( x) ≥ 0 и g( x) ≥ 0 хотя бы
	x [a , b),	a ≤ a < b . Пусть	f ( x) ≤ g(x) , x [a , b). Тогда: 1) из сходимости
	~	~	~
b		b	b

∫g(x) dx следует сходимость ∫ f (x) dx ; 2) из расходимости ∫ f (x) dx следует

a	a			a
b
расходимость ∫g(x) dx .
a		~	< β < b . Имеем
Возьмем β – любое, удовлетворяющее условию a
	β	β
	∫ f (x) dx ≤ ∫g(x) dx .			(2)
	~	~
	a	a
b		b
1) Пусть ∫g(x) dx	сходится	∫g(x) dx сходится		существует число
a		~
		a

β

~

β

~

K > 0

такое,

что

∫g(x) dx ≤ K ,

∫ f (x) dx ≤ K ,

β (a , b)

β (a , b)

~

~

a

a

b

b

∫ f (x) dx сходится ∫ f (x) dx сходится.

~

a

a

b

b

2) Пусть ∫ f (x) dx расходится. Нужно доказать, что ∫g(x) dx расходится.

a

b

a

b

От противного: допустим, что ∫g(x) dx сходится по пункту 1)

∫ f (x) dx

сходится, а это не так.

a

a

Теорема 4 (второй признак сравнения). Пусть f ( x) > 0 , g( x) > 0

хотя бы

для x [a , b),

a ≤ a < b . Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

~

~

l = lim

f (x)

(l ≠ 0, l ≠ ∞) .

g( x)

x→b−0

b

b

Тогда несобственные интегралы ∫ f (x) dx и ∫g(x) dx

сходятся или расходятся

одновременно.

a

a

По

условию

l ≠ 0 , l ≠ ∞. Ясно,

что

0

l−ε

l+ε

l > 0 . Возьмем ε > 0 – любое, но такое, что

l

Рис. 2.3. К доказательству

l −ε > 0 . По условию: l = lim

f (x)

взя-

g( x)

теоремы 4

x→b−0

тому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что

62

	f (x)	−l		< ε,		если	b −δ < x < b .	(3)
	g(x)
				~
								( p > 0 , q > 0 –
Можно считать, что b −δ = a* > a . Обозначим: l − ε = p , l + ε = q
определенные числа). Неравенство (3) можно записать теперь в виде:
	p <	f (x)			< q ,	если	x [a , b) ,
или в виде		g(x)					*
p g(x) < f ( x) < q g( x),							если x [a*, b) .	(4)
b					b		b

	1) Пусть ∫g(x) dx сходится			∫g(x) dx сходится ∫q g(x) dx сходит-
		a		a*	a*
	(4)	b	b
		∫ f (x) dx сходится	∫ f (x) dx сходится.
	ся
		a*	a
		b		b	(4)	b
	2) Пусть ∫ f (x) dx сходится			∫ f (x) dx сходится		∫p g(x) dx схо-
		a		a*		a*
		b		b
	дится ∫g(x) dx сходится ∫g(x) dx сходится.
		a*		a
		b			b
	3) Пусть ∫ f (x) dx расходится. Нужно показать, что и ∫g(x) dx расходится.
		a			a

b

От противного: допустим, что ∫g(x) dx сходится. Но тогда, по пункту 1),

a

b

∫ f (x) dx сходится, а это не так.

a

b b

4) Пусть ∫g(x) dx расходится. Нужно показать, что расходится и ∫ f (x) dx .

a	a
b
От противного: допустим, что ∫ f (x) dx	сходится. Но тогда, по пункту 2),
a
b
∫g(x) dx сходится, а это не так.
a

63

Замечание. Применение теоремы 4 для исследования несобственного инте-

b

грала ∫ f (x) dx требует знания некоторой «эталонной» функции g(x) . Доволь-

a

но часто в роли такой «эталонной» функции выступает

	g(x) =	1	(λ > 0, x [a, b), a < b) .
		(b − x)λ

Поэтому важно знать, что несобственный интеграл

b

∫a (b −dxx)λ

сходится, если λ <1, и расходится, если λ ≥1. (Заметим, что если λ ≤ 0 , то данный интеграл является собственным).

1) Пусть λ <1. Имеем

β

dx

1

x=β

1

[(b

]

∫

1−λ

1−

λ

1−λ

= −

(b − x)

x=a =

−a)

−(b −β)

(b

− x)λ

1−λ

1−λ

a

β

dx

(b

−a)1−λ

β→limb−0 ∫

=

(b − x)λ

1−λ

b

a

dx

∫

сходится, если λ <1.

(b

− x)

λ

a

2) Пусть λ =1. Имеем

β

β

∫

dx

= −ln (b − x)

xx==βa = ln (b −a) −ln (b −β)

β→limb−0

∫

dx

= +∞

b − x

b − x

a

a

b

dx

∫

расходится, если λ =1.

(b

− x)

λ

a

3) Пусть λ >1. Имеем

x=β

β

dx

1

1

1

1

1

∫

= −

=

−

λ

1

−λ

λ−1

λ−1

λ−1

a

(b − x)

(b − x)

x=a

λ −1 (b −β)

(b −a)

β

dx

lim

∫

= +∞

(b − x)

λ

β→b−0

a

b

dx

∫

расходится, если λ >1.

(b

− x)

λ

a

64

Примеры.

			1	ln x
	1. Исследовать сходимость интеграла J = ∫				dx .
				2
			0	1− x
		ln x
	f ( x) =		определена в промежутке [0,1] всюду, за исключением точек
		1− x2

x = 0 и x =1. (Эти две точки – особые). Представим J в виде суммы двух несобственных интегралов:

1 2

ln x

1

ln x

J = ∫

dx + ∫

dx = J1 + J2 .

1− x2

1− x2

0

1 2

14243

14243

1 2

=J1

=J2

ln x

Рассмотрим

J1 = ∫

dx . У этого интеграла лишь точка

x = 0

является

1− x2

0

ln x

особой. Имеем

lim f (x) = lim

= −∞ f ( x) – неограниченная в правой

1− x2

x→+0

x

→+0

полуокрестности точки x = 0 . Значит,

J1 – несобственный интеграл II рода.

Так как

f ( x) =

ln x

~

ln x ,

то в качестве функции g( x)

следует взять

1− x2

g( x) = ln x . Тогда

x→+0

lim

f (x)

= lim

ln x

= lim

1

=1.

g(x)

(1

− x2 )ln x

x→+0

x→+0

x→+0 1− x2

1 2

1 2

Следовательно, несобственные интегралы

∫ f (x) dx

и

∫g(x) dx

в смысле схо-

димости ведут себя одинаково. Имеем

0

0

1 2

1 2

1 2

x=1 2

g(x) dx =

ln x dx = lim

ln x dx = lim

x ln x − x

=

∫

∫

α→+0

∫

α→+0[

]

x=α

0

0

α

= lim

1

ln

1

−

1

−(αln α −α)

=

1

ln

1

−

1

− lim (αln α −α)

=

1

ln

1

−

1

2

2

2

2

2

2

2

2

α→+0

2

α→+0

1442443

=0

1 2

– определенное число ∫g(x) dx сходится. Значит, и несобственный интеграл

J1 сходится.

0

65

1

ln x

Рассмотрим теперь

J2 = ∫

dx . У этого интеграла лишь точка x =1

1− x2

1 2

является особой. Имеем:

ln[1+( x −1)]

lim

f ( x) = lim

ln x

=

lim

= lim

x −1

= − 1

(1− x)(1+ x)

x→1−0

x→1−0

1− x2

x→1−0 (1− x)(1+ x)

x→1−0

2

f ( x) – ограниченная в промежутке

1

,1 . Положим

2

x

1

;

~

f (x),

,1

f (x) =

2

− 1 ,

x =1.

2

~

1

1

~

Ясно, что

f (x) C

∫

f (x) dx

существует.

Следовательно,

2

1 2

1

J2 = ∫ f (x) dx сходится.

12

Так как несобственные интегралы J1 и J2 сходятся, то сходится и несобст-

	1	ln x
венный интеграл J = ∫			dx .
		2
	0	1− x
		1		x p	4 dx .
2. Исследовать сходимость интеграла J = ∫
f ( x) = x p		0		1− x
	определена в промежутке [0,1] всюду, за исключением
1− x4

точки x =1 (если p ≥ 0 ) и за исключением точек x = 0 , x =1 (если p < 0 ). Представим J в виде суммы двух интегралов

			1 2			x p		1	x p
	J =		∫0				+	1∫2		= J1 + J2
						dx			dx
					1− x4				1− x4
			142443					142443
	1 2					=J1			=J2
			x p			4 dx . Если p ≥ 0 , то J1
Рассмотрим J1 = ∫											– собственный интеграл. В
	0		1− x
этом случае				1							существует. Если p < 0 , то
	f ( x) C	0,		2	, и, следовательно, J1

66

	f ( x) =	1	lim	f (x) = lim	1	= +∞	f ( x) – неограничен-
		x−p 1− x4			1− x4
			x→+0	x→+0 x−p

ная в правой полуокрестности точки x = 0 . Значит, J1 – несобственный интеграл II рода.

	Так как			f ( x) =		x p	~	1	, то в качестве функции g( x) следует взять
						1− x4 x→+0 x−p
	g( x) =	1		. Тогда lim			f ( x)	= lim	1	=1. Следовательно, несобственные
		x−p					g(x)
					x→+0			x→+0 1− x4
				1 2		1 2
	интегралы			∫ f (x) dx		и	∫g(x) dx в смысле сходимости ведут себя одинаково.
				0			0
	1 2			1 2	dx
	Но ∫g(x) dx = ∫					сходится, если − p <1 и расходится, если − p ≥1. Значит,
					−p
	0			0	x

и несобственный интеграл J1 сходится, если p > −1, и расходится, если p ≤ −1.

	1	x p	4 dx . У этого интеграла лишь точка x =1
Рассмотрим теперь	J2 = ∫
	1 2	1− x
является особой. Имеем	lim	f ( x) =		lim	x p	= ∞ f ( x) – неограничен-
	x→1−0			x→1−0 1− x4

ная в левой полуокрестности точки x =1. Значит, J2 – несобственный интеграл второго рода. Так как для любого p

f ( x) =

x p

~

1

,

1+ x

1+ x2

1 2

1− x

x→1−0 2(1

− x)

1

то в

качестве функции

g( x)

следует

взять

g( x) =

. Тогда

1 2

2(1− x)

f (x)

1

1

lim

=1 и, следовательно,

∫

f (x) dx и

∫

g(x) dx

в смысле сходимости ве-

x→1−0

g( x)

1 2

1 2

1

1

1

dx

дут себя одинаково. Но ∫g(x) dx =

∫

сходится. Значит, несобствен-

1 2

1 2

2

1 2(1− x)

1

x pdx

ный интеграл J2 = ∫

сходится при любом p.

У нас

J1 сходится при

4

1 2

1− x

p > −1 и расходится при p ≤ −1;

J2

сходится при любом p. Следовательно, не-

67

1

x pdx

собственный интеграл

J = ∫

сходится

при

p > −1

и

расходится

при

4

p ≤ −1.

0

1− x

π 2

dx

3. Исследовать сходимость интеграла J = ∫

.

sin

p

x cos

q

0

x

1

f ( x) =

в промежутке

0,

π

определена и непрерывна, если

p

q

sin

x cos

x

2

одновременно p ≤ 0 и q ≤ 0 ;

f ( x) определена в

π

всюду, за исключением точки x = 0 , если q ≤ 0 , а

0,

p > 0 ;

2

f ( x) определена в

π

всюду, за исключением точки x =

π

, если p ≤ 0 , а

0,

2

q > 0 ;

2

f ( x) определена в

π

всюду, за исключением точек

x = 0 , x =

π

, если

0,

2

2

одновременно q > 0 ,

p > 0 .

Представим

J

в

виде суммы

двух

интегралов

J = J1 + J2 ,

где

π 4

dx

π 2

dx

J1 = ∫

; J2 =

∫

.

sin p x cosq x

sin p x cosq x

0

π 4

π 4

dx

Рассмотрим J1 = ∫

. Этот интеграл – собственный, если

p ≤ 0

sin p x cosq x

0

(q – любое).

J1 – несобственный интеграл лишь при p > 0 . В этом случае у него

точка x = 0

является особой

точкой;

f ( x) оказывается неограниченной в

правой полуокрестности точки x = 0 .

Так как

f ( x) =

1

~

1

при любом q, то в качестве функции

sin p x cosq

x x→+0 x p

f (x)

g( x) следует взять g( x) =

1

. Тогда

lim

=1. Следовательно, несобствен-

x p

x→+0

g( x)

π 4

π 4

ные интегралы J1

и ∫g(x) dx = ∫ xdxp

в смысле сходимости ведут себя одина-

0

0

ково.

68

Но

∫

x p

p <1 и расходится при

p ≥1. Значит, J сходится

π 4

dx сходится при

1

0

при p <1 (q – любое) и расходится при p ≥1 (q – любое).

J2

– несобственный интеграл лишь при q > 0 . В этом случае у него точка

x = π

является особой точкой;

f ( x)

оказывается неограниченной в окрестно-

2

сти точки x = π

. Имеем

2

1

1

1

f ( x) =

=

~

,

sin p x

q

q

cosq x

p

π

−

x→π−0 π

sin

x

sin

x

2

− x

2

2

π 2

dx

при любом p. Так как ∫

сходится при q <1 и расходится при q ≥1, то

π

q

π

4

− x

2

π 2

dx

заключаем, что

J2 = ∫

сходится при q <1

(p – любое) и расхо-

sin p

x cosq x

π 4

дится при q ≥1 (p – любое).

Итак, получили: J1 сходится лишь тогда, когда p <1, q – любое;

J2 сходит-

ся лишь тогда, когда q <1, p – любое. Следовательно, J1

и J2 сходятся одно-

временно лишь тогда, когда одновременно

p <1

и

q <1. Значит,

J сходится

лишь тогда, когда одновременно p <1; q <1.

2

dx

4. Исследовать сходимость интеграла J = ∫

.

ln x

1

0

f ( x) =

определена в промежутке [0, 2] всюду, за исключением точек

ln x

x = 0 ,

x =1. Так как точка x =1 лежит внутри промежутка интегрирования, то

представим интеграл J в виде суммы трех интегралов J = J1 + J2 + J3 , где

1 2

1

dx

2

dx

J1 = ∫

dx

; J2 = ∫

; J3 = ∫

.

ln x

ln x

ln x

0

1 2

1

Вспоминаем, что интеграл J называется сходящимся, если будут сходиться одновременно все три интеграла J1, J2 , J3 .

69

12

Рассмотрим J1 = ∫lndxx . У этого интеграла лишь точка x = 0 является осо-

0

бой. Имеем lim					f (x) = lim	1	= 0 f ( x) – ограниченная в промежутке
		1		x→+0	x→+0 ln x
	0;			. Положим
		2

~
	f (x),		x
f (x) =
	0,	x = 0.

0, 1 ; 2

Ясно, что	~		1
	f (x) C 0,		2

12

∫~

f (x) dx существует. Следовательно, несобст-

0

венный интеграл J1 сходится.

1

dx

Рассмотрим J2 = ∫

. У этого интеграла лишь точка x =1 является осо-

ln x

1 2

бой;

f ( x) – неограниченная в окрестности точки x =1. Имеем

f ( x) =

1

=

1

~

1

.

[

]

ln x

+

( x

−

→ x −1

ln 1

1) x

1

1

dx

Так

как ∫

расходится, то расходится

и

несобственный интеграл

x −1

1 2

1

J2 = ∫lndxx . Совершенно аналогично устанавливается, что несобственный инте-

12

2

грал J3 = ∫lndxx расходится.

1

2

Общий вывод: исследуемый несобственный интеграл J = ∫lndxx расходится.

0

§4. Общий признак сходимости несобственного интеграла II рода

Прежде чем сформулировать общий признак сходимости несобственного интеграла II рода, вспомним общий признак существования конечного предела у функции ϕ(β) , заданной в промежутке [a, b) при β → b − 0 .

Для того, чтобы у функции ϕ(β) , заданной в промежутке [a, b) , существовал конечный предел при β → b − 0 , необходимо и достаточно, чтобы любому

70