- •Автор-составитель:
- •Цели и задачи дисциплины
- •Требования к уровню освоения дисциплины
- •Объем дисциплины
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Распределение часов по темам и видам учебной работы
- •Содержание курса
- •Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования.
- •Тема 2. Классическая и обобщенная линейные модели множественной регрессии.
- •Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой.
- •Тема 4. Нелинейные регрессионные модели и их линеаризация.
- •Тема 5. Динамические регрессионные модели.
- •Темы практических занятий
- •Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой. (Практическое занятие).
- •Тема 4. Нелинейные регрессионные модели и их линеаризация. (Практическое занятие).
- •Тема 5. Динамические регрессионные модели. (Практическое занятие).
- •Тема 6. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов. (Практическое занятие).
- •Тема 7. Системы линейных одновременных уравнений. (Практическое занятие).
- •Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений. (Практическое занятие).
- •Задания для самостоятельной работы студентов
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.12.
- •Задача 2.13.
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Варианты контрольных работ и методические указания по их выполнению
- •Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования.
- •Регрессионные модели с одним уравнением
- •Системы одновременных уравнений
- •Тема 2. Классическая и обобщенная линейные модели множественной регрессии.
- •Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой.
- •Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
- •Тема 5. Модели стационарных и нестационарных временных рядов.
- •Тема 6. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов.
- •Тема 7. Системы линейных одновременных уравнений.
- •Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений.
- •Варианты контрольных работ.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 3.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15.
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
- •Вариант 21.
- •Вариант 22.
- •Вариант 23.
- •Вариант 24.
- •Вариант 25.
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •Литература
- •Методическое обеспечение дисциплины
- •Материально-техническое и информационное обеспечение дисциплин
Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
Довольно часто соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами приходится описывать нелинейными функциями. Например, производственные функции (зависимость между объемом производства и основными факторами производства) или функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом).
Следует различать модели, нелинейные по параметрам, и модели, нелинейные по переменным.
Для оценки параметров нелинейных моделей существует два основных подхода:
1. Первый подход основан на линеаризации модели: преобразованием исходных переменных и введением новых, нелинейную модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется метод наименьших квадратов.
2. Если подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, то применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Если модель нелинейна по переменным, то используется первый подход, т.е. вводятся новые переменные, и модель сводится к линейной:
y = + ε.
Переходим к новым переменным: x1'=lnx1, x2'= и получаем линейное уравнение:
y = + ε.
Более сложной проблемой является нелинейность по оцениваемым параметрам. В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейному виду. Рассмотрим следующие модели, нелинейные по оцениваемым параметрам:
степенная (мультипликативная) – ,
Степенная модель может быть преобразована к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lny = ln + lnε.
Замена переменных: y'=lny, b0'=lnb0, x1'=lnx1, …, xm'=lnxm, ε'=lnε. В новых переменных модель запишется следующим образом:
y' = + ε'.
Степенные модели получили широкое распространение в эконометрическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.
экспонента – ,
Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично:
lny = + lnε.
Переходя к новым переменным y'=lny, ε'=lnε, получаем линейную регрессионную модель:
y' = + ε'.
гипербола – .
Гиперболическая модель линеаризуется непосредственной заменой переменной y'=1/y:
y' = + ε.
Эти функции используются при построении кривых Энгеля, которые описывают зависимость спроса на определенный вид товаров или услуг от уровня доходов потребителей или от цены товара.
логарифмическая модель:
y = + ε.
При выборе формы уравнения регрессии важно помнить, что чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.
В качестве примера использования линеаризующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:
Y = AKαLβε,
где Y – объем производства, К – затраты капитала, L – затраты труда.
Путем логарифмирования обеих частей данную степенную модель можно свести к линейной:
lnY = lnA + α·lnK + β·lnL + lnε.
Переходя к новым переменным Y'=lnY, A'=lnA, K'=lnK, L'=lnL, ε'=lnε, получаем линейную регрессионную модель:
Y' = A' + α·K' + β·L' + ε'.
Эластичность выпуска продукции.
Показатели α и β являются коэффициентами частной эластичности объема про-изводства Y соответственно по затратам капитала К и труда L. Это означает, что с увели-чением только затрат капитала (труда) на 1% объем производства возрастает на α% (β%):
;
.
Эффект от масштаба производства.
Если α и β в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства. Если их сумма меньше единицы, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства. Например, К и L увеличиваются в 2 раза. Найдем новый уровень выпуска (Y*):
Y* = A(2K)α(2L)β = A2αKα2βLβ = 2α+βAKαLβ= 2α+βY.
Если α+β =1,2, то 2α+β=2,30, а Y увеличивается больше, чем в 2 раза.
Если α+β =1, то 2α+β=2, и Y увеличивается также в 2 раза.
Если α+β =0,8, то 2α+β=1,74, а Y увеличивается меньше, чем в 2 раза.
Первоначально Кобб и Дуглас представляли функцию в виде Y = AKαL1-αε,
т.е. предполагали постоянную отдачу от масштаба производства. Впоследствии это допущение было ослаблено.
Если в модели α+β =1, то функцию Кобба-Дугласа представляют в виде
Y = AKαL1-αε
или .
Таким образом, переходят к зависимости производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (К/L). Логарифмируя обе части уравнения, приводим его к линейному виду:
ln(Y/L) = lnA + α·ln(К/L) + lnε.
Функция Кобба-Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид:
Y = AKαLβeθtε,
где t – время, параметр θ – темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу.