- •Математика (теория вероятностей и математическая статистика)
- •Содержание
- •Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению заданий № 1 - № 4 комментарии к задаче № 1
- •§1. Случайные события. Основные понятия
- •§2. Случайные события. Операции
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях
- •§6. Простейшие свойства вероятностей
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
- •§9. Формула полной вероятности
- •§10. Формула байеса
- •Комментарии к задаче № 2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
- •Комментарии к задаче № 3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
- •§16. Дисперсия случайной величины
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения
- •Комментарии к задаче № 4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин
- •2 Семестр
- •4. Методические указания к выполнению задания № 5
- •Часть 2.
- •Дискретный вариационный ряд
- •Интервальный вариационный ряд
- •Дискретный вариационный ряд
- •Корреляционная таблица
- •5. Контрольные задания № 1-№ 4
- •6. Контрольные задания № 5
- •7. Выбор варианта. Требования к оформлению контрольной работы
- •8. Список литературы
- •Нормированная функция Лапласа
- •Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения
- •Критические точки распределения
- •Приложение 5 Содержание дисциплины (Извлечение из рабочей программы дисциплины)
- •Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 3.1.Случайные события, вероятность и основные теоремы
- •Тема 3.2. Случайная величина, классификация и основные теоремы
- •Тема 3.3.Основные предельные теоремы
- •Тема 3.4. Системы случайных величин
- •Тема 3.5. Статистическое оценивание и проверка гипотез
- •Образец оформления титульного листа контрольной работы
- •Математика
- •Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине
§14. Функция распределения
Если F(x) = P(X < x), то функция F(x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х, т.е. функция распределения в точке “х” это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного числа х.
Из определения сразу следуют несколько свойств F(x):
F( = 0, F(+ ) = 1;
F(x) неубывающая функция (т.е. если x1 < x2 , то F(x1) F(x2) ).
Функция распределения для случайной величины дискретного типа имеет “ступенчатый” график. Для случайной величины Х1 из §13 F(x) запишется так:
Y
Обратите внимание, что левые концы «ступенек» выколотые, а правые нет. Например, F(1) = P(X1 < 1) = P(X1 =0) = 0,25;
F(1,1) = P(X1<1,1) = P(X1 = 0) + P(X1 = 1) = 0,75. «Высоты» «ступенек» равны очередным вероятностям, взятым из таблицы : сначала 0,25, затем еще +0,5, и наконец еще +0,25.
Аналогичный график и для другого примера – про домино – только там будет не 2, а 12 «ступенек».
Справедлива формула: P(a X < b) = F(b) F(a).
§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения” случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле
М(Х) = x1 · p1 + x2 · p2 + ... + xk · pk (+...) = ,
где x1, x2, ... , xk, ... возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p1, p2, ..., pk, ... их вероятности (нижняя строка).
Математическое ожидание это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера из §13
М(Х1) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1 .
Здесь Х1 число “орлов”, выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М(Х1) среднее число “орлов”, выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1.
Для другого примера из §13 М(Х2) = 6.
Отметим два простейших свойства математического ожидания:
1. М (С) = С
2. М (С · Х) = С · М(Х) ( С постоянная ).
В дальнейшем нам придется вычислять математическое ожидание случайной величины Х2. Если случайная величина Х задается таблицей
X |
x1 |
x2 |
... |
xk |
P |
p1 |
p2 |
... |
pk |
то случайная величина Х2 получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х, при этом Р(Х = хк)= = Р(Х2 = хк2) = pk :
X2 |
x12 |
x22 |
... |
xk2 |
P |
p1 |
p2 |
... |
pk |
Поэтому М(Х2) = x12 · p1 + x22 · p2 + ... + xk2 · pk = .
В частности, для примера из §13
X2 |
02 |
12 |
22 |
P |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
и М(Х2) = 02 · 0,25 + 12 · 0,5 + 22 · 0,25 = 1,5