4.7. Построение парного нелинейного уравнения, метод линеаризации.

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x, y) → (x’, y’), система нормальных уравнений имеет вид (4.2) в преобразованных переменных x’, y’.

Степенная функция:

Линеаризация данного уравнения осуществляется путем логарифмирования обеих частей:

;

;

; ; .

Рассчитав a’ необходимо в интересах дальнейшего прогнозирования перейти к коэффициенту a исходного степенного уравнения: .

Коэффициент эластичности для степенного уравнения регрессии с учетом выражения (4.3) будет иметь вид:

Таким образом, коэффициент b степенного регрессионного уравнения является коэффициентом эластичности для данной формы связи переменных.

Для нелинейных уравнений регрессии вместо линейного коэффициента парной корреляции рассчитывается индекс корреляции

.

Долю дисперсии, объясняемой регрессией, в общей дисперсии результативного признака y для нелинейного уравнения связи характеризует индекс детерминации .

Значимость нелинейного уравнения связи также определяется по F-критерию Фишера. Фактическое значение критерия F_факт определяется по формуле:

F_табл определяется из таблицы при степенях свободы k₁ = m, k₂ = n – m – 1 (для рассматриваемой степенной регрессии m = 1) и уровне значимости α. Если F_табл < F_факт, то признается статистическая значимость и надежность оцениваемых характеристик. Если F_табл > F_факт, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Наряду с F-критерием Фишера для оценки нелинейного уравнения регрессии можно использовать среднюю ошибку аппроксимации .

Прогноз и оценка прогноза по нелинейному уравнению регрессии проводится аналогично линейному уравнению регрессии.

Пример. Рассмотреть и оценить взаимосвязь для одной исследуемой субпозиции ТН ВЭД ТС между факторами: вес одного упаковочного места (в кг) и относительно разности между весом брутто-нетто (РБН). По имеющимся данным построить прогноз, выполнить его оценку. Показатель РБН рассчитывается по формуле:

РБН = (вес брутто - вес нетто) / вес брутто · 100%. (1)

Результаты эмпирического распределения исследуемых признаков для товарной подсубпозиции 1605209100 ТН ВЭД ТС "варено-мороженые креветки" представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Результаты эмпирического распределения исследуемых признаков

Вес места	РБН
x	y
5	6,2
6	7,9
7	8,3
8	6,6
9	7,5
11	9,0
12	10,5

Будем считать, что при увеличении веса 1 места происходит уменьшение разницы между весом брутто и нетто, это идея, в основе которой лежит природа вещей, поэтому целесообразно в качестве влияющего независимого фактора x выбрать показатель «вес 1-го места» (в кг), а в качестве результативного, зависимого y РБН (в %).

Построим уравнение парной линейной зависимости для показателей x и y.

Таблица 4.2.

Расчет параметров парной линейной регрессии

	x	y	xy	x^2
	5	6,2	31,0	25	6,5	0,3	0,1	10,80	2,20
	6	7,9	47,4	36	7,0	0,9	0,9	5,22	1,06
	7	8,3	58,1	49	7,4	0,9	0,8	1,65	0,34
	8	6,6	52,8	64	7,9	1,3	1,6	0,08	0,02
	9	7,5	67,5	81	8,3	0,8	0,7	0,51	0,10
	11	9,0	99,0	121	9,2	0,2	0,1	7,37	1,50
	12	10,5	126,0	144	9,7	0,8	0,7	13,80	2,81
Среднее	8,29	8,00	68,83	74,29
Сумма						5,3	4,76	39,43	8,04

На основе представленных в табл. 4.2 данных в соответствии с (4.2) выполним расчет параметров a и b регрессионного уравнения:

С использованием параметров a и b выполним расчет теоретических значений результативного параметра и внесем их в табл. 4.2.

Рассчитаем с использованием выражения (4.6) среднюю ошибку аппроксимации полученного регрессионного уравнения

Полученное значение средней ошибки аппроксимации не превышает установленный предел 12%, поэтому уравнение по данному критерию можно считать удовлетворительным.

Выполним оценку значимости уравнения по F-критерию Фишера (4.5):

Вычисление табличного значения F-критерия Фишера с использованием MS Excel при степенях свободы k₁ = m=1, k₂ = n – m – 1 = 7 – 1 – 1 = 5 дает следующий результат:

FРАСПОБР(0,05;1;5)=6,6.

Поскольку F_табл < F_факт, то можно признать статистическую значимость и надежность оцениваемого уравнения регрессии.

Рассчитаем коэффициент корреляции с использованием (4.4)

Полученное значение коэффициента корреляции показывает, что связь между факторной и результирующей переменной весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации .

Полученное значение коэффициента детерминации показывает, что 0,62 дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.

Рассчитаем коэффициент эластичности Э_xy:

Коэффициент эластичности свидетельствует, что при изменении факторного признака (веса упаковочного места) на 1% от своей средней результат у (РБН) изменяется на 0,46% от своей средней.

Выполним прогноз значения РБН для веса одного упаковочного места 6,5 кг:

%.

Остаточная дисперсия %.

Ошибка прогноза .

Табличное значение коэффициента Стьюдента при α=0,05 и n=7 можно определить с помощью функции MS Excel СТЬЮДРАСОБР(α, n) и тогда t_факт=2,36.

Таким образом прогнозное значение будет лежать в диапазоне, определяемом величиной . Иначе говоря, прогнозное значение принимает вид: .