Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§

14]

ИНТЕГРАЛЫ,

НЕ

ВЫРАЖАЮЩИЕСЯ

В

КОНЕЧНОМ ВИДЕ

347

	Реше кие.	Это-интеграл типа		III.	Сделаем	замену		x=aslnz,
r		s	dx=a	zdz,		1 s dz
	dx		а cos z dz	cosа cos z dz *)
JУ(а2-х2)з		f(a2-a2s1n2z)З		3	cosзz	=а	2	cos	2	z=
				a

тогда

=...!._ а2

t

g

z+C=_!__
а	2

sin z+c-_!__
cosz	-а.,,

sln z fl-sin2z

+с=_!._
а	2

х yaz-xz

+с ·

§

14.

О

фун~циях, интегралы от которых не

через элементарные функции

выражаются

В	§ 1 гл.	Х	мы	уже отмечали
кая функция		f	(х),	непрерывная
этом	интервале		первообразную,		т.
F(x),	что F'(х)=f(х).Однако				не

(без доказательства),			что вся­
на	интервале	(а, Ь),	имеет на
е.	существует	такая	функция
всякая первообразная,

даже н ом

тогда, виде

когда	она существует.	вы р аж а е т с		я	в	к он	е ч­
через	элемент ар н	ые	функции.
!/			V
			1 -------------
						!/= Ф(:сJ

Рис.

208.

Рис.

209.

Таковы

первообразные,

S	scos хd		sV
sln х		х,		1	-
хdx,	-х-

выраженные					интегралами
k .		dx	,	sdx		и многие
2	sш' х				ln х ,

~ e-x•dx, другие.

Во всех подобных

очевидно, некоторую

случаях первообразная представляет

новую функцию, которая не сводится

собой, к ком­

бинации Так,

конечного например,

числа та из

элементарных первообразных

фуцкций. ./;i fе-х•

dx+C,

кото­

рая обращается	в	нуль при
и обозначается	Ф	(х). Таким

х=О, называеrся

образом, Ф(х) =

фунtсцией
/;i	fе-х
	2

Лапласа
1	,
dx + С

если

Ф(О)=О.

Эта

функция

хорошо

изучена.

Составлены

подробные

таблицы

ее значений увидим в §

при различных

21 гл. XVI (т.

значениях х. II). На рис.

Как 208

и

это делается - мы 209 изображены

график

подынтегральной

функции

у=

е-х

2

и

график

функции

Лапласа

у=

Ф

(х).

на

*)	fl-sin
	2
одном случае:

z=I 1cos

cos z z 1=

1: мы

cos z.

для

определенности

останавливаемся

лишь

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

(ГЛ.

Х

Та

из

первообразных
sV l -k	sin	2
2

xdx+c

(k

<

1),

которая обращается в нуль

интегралом и обозначается

при х Е (х):

=

О,

называется

эллиптическим

Е

(х)

=

~

J/l

-

k

2

sin

2

xdx+

С

11

,

если

Е

(О)=

О.

Для этой функции	также
различных значениях	х.

составлены

таблицы

значений

при

Упражненив

к

rпаве

Х

1.

Вычислить интегралы:

5

2

5

6

1.

х5 dx.

Отв.

х:6

+с.

2.

Отв.

х2

2xfx

(х+Ух) dx.

+-3-+с.

3.

S(-.r~ _x~x)dx.

Отв.

6Yx-t~x

Yx+c. 4.

s~~.

Отв.

2

8. sv-;·

:

xt Ух+С.

5. s(х~+х;х+2)dx. Отв. - ~-

у;

+2х+С.

Отв.

: }';з+с.- 7.

s(х +J~

уdx. Отв. х;+: х

2

Vxi+зVx+c.

2

			:
Интегрирование методом подстановки
8. Se5Xdx.	Отв.~ е5х+с.	9.	Scos5xdx
			.

Отв.

sin/x

+с.

10.

5 sinaxdx.

Отв.	cosax		11.
	--а-+с.
ctg	Зх	s dx		7
3			cos2
---+с. 13.				х.
15. J/\·Отв. -lnll-

51пх	. Отв.	1		2
xdx		2	1n х+С.
				5 dx
tg	7х
	7	14,		~ .
Отв. --+с.
xl+C.	16. 5S d~x. Отв.

12.		5	dx	Отв.
			slnaзx.
()	тв.	1	I
		3	Jn Зх-71+С.
- : lnl5-2x				l+C.

	t7,Stg2xdx.		Отв.
	t	ln Isln (5х-7) l+C.
	5
	отв. з1n\s1n;		\+с.

-:ln/cos2x/+C
19,	s dy	Отв.
	ctg Зу.
21. 5tgcpsec		cpdcp.
	2

	.
	-	1
		3
	Отв.

18.		Sctg(5x-7)dx.				Отв.
ln	I cos Зу l+C.			20.	s	х	dx.
					ctg	3
~
	tg	2	q>+C.2!.	S<cigex)гxdx.

Отв.	ln\s1nex1+c.	23.
-41n\s1n ~ \+с. 24.		Ssln
		2

S(tg4S xcosxdx.

-

ctg ~ )ds. Отв. -1 ln\cos4S1			-
Отв. ~+с. 25.	Jcos	xslnxdx.
	3

Отв.
отв	.
Отв
	·
Отв.

_cos"x+c.			2в.5vx				+1xdx.
					2
1	4				J x			dx
	~
-	у2х	+з+с. 28.					2	--.
							,r
2	2						r хз+ 1
	1			30.	ssln хdx
---+С.						--3 - •
	sin х			sctg2x			cos	х
tg2x+c. 32.							dx.	Отв.
	2			sln х

Отв.	3	У(х				2	+1)	3	+С.	27.
	1
Отв.	2		"r				--			29.
	-		,		х3+ 1+с.
	3
Отв.	2		1	2			1С.		31.
		cos				х			s
_ctg22x+C.							33.
										cos
										2

S-.rxdx .
		~~
	5cosxdx
	~			-
		sш		х
Jtg х				dx.
	-	-
		2	х	.
	cos
;~
x	tgx-1

НЕОПРВДВЛЕННЫR

ИНТЕГРАJI

(ГЛ.

Х

14.

76.

78.

JVl~

x

• Отв.

~ arcsin ~+с.

75. Jу~. Отв.

9

2

S

dx

.Отв.

1

arotg

х

+c.

77.

sdx

• Отв.

I

+х8

2

2

х8

+

4

6

4

9

dx

Отв.

J

12+3х\

79.

S4-9ха.

12 ln

2-Зх +с.

arcstn		;	+с.
arctg		Зх	+c.
f		2
		dx
	уxz		+9·

Отв.

81. Отв.

lnJx+Y х	+91+С.		80.	Sv	dx	• Отв.		1
								ь
2
Sv dx					ь2х2-а2
	•	Отв.				2	2	x	2
				1-1n\ax+vь			+a
ьэ+аэха				а
~1n/::+:l+c.			83.		S:а;.		Отв.

lntьx+YЬ2x2-a21+c.
1+c.			82. s2	~	2•
			а	х -с
6	;	5	1nl~=~;l+c.

xdx

l

2

'(•

xdx

\

х

2

84. SVt-x•.

2

J .х4+а•.

Отв.

2

а2arctg а

2

+с.

Отв.

arcsin

х +с. 85.

86.

J eXdx

Отв

arcsineX+C.

87.

S

dx

2

v1-e2x·

.

scoi:,xdx

•

УЗ-5х

1

.

у5

х+С.

88.

1

(sinx)

+с.

Отв...г-

arcsш

-

- 2+

.

2

• Отв. -arctg

--

r

5

3

а

sш

х

а

а

89.

S

dx

;,,"""'.

Отв.

.

(lnx)+C.

90.

sarccos

х-х

-;;-~-,-

arcsш

-:;г----dх.

х r

2

х

v

2

1-ln

1-х

Отв.

-

1

"г.-----::.

+С.

91.

sx-arctg

х

dx.

2

(arccosx)2 +r

1-х2

l+xs

Omв.

21

In(I+x2

)-

21

(arctgx)

2

+C.92.

sv1+Inx х

dх.Отв.

-2 3

"r r

(l+lnx)

3

+C.

93.

Отв. Отв.

	5vi;vxdx.
		х
4	V	1+v х+С·
зVsшх+с. 97.

Отв.

~-V(l+Vx)

3

+C.

94.

	S				х
95.	eXdx			Отв. aratge		+с.
	1+е2х·
sVl+3cos		2	xsin 2xdx. Отв.			-	2
							9

5	vdx		.
Ух	1+vx
96.	scosxdx
	Vsш2x·
V (l+Зcos		x)	+C.
	2	3

98.

Отв. 101.

2	xdx .
S sin
Vl+cos		x
	2
1	t
----+с					•
sin х	3sin	8	x
S	dx
2 sin2	х+з coi:,2			х.

Отв.	-2	У 1+cos x+c.				99.		cos	х
								S- in4 dx,
				2				3
								s
									х
	100.	~dx.				Отв.	5	Vtg• х+с.
		S	cos х				3
						arctg( у: tg х)+с.
			Отв.		у~

S Ах+в

Интегралы вида axs+ Ьх+с dx:

		102.		Sx2+	dx			Отв.
					x+s·
					2
Отв		1			Зх-1		+с.	104.
		...r	- arctg		"r-
		"	11		"	11
	•	х2		dx		•		Отв.
105				-6х +5
		S

1		x+l			103.
2		arctg--+c.
		2
s		dx			1
х	s+з +l •		Отв...г- ln
		1:		,,	5
l		Iх-51			1	б&.
4		х-1 +с.

s		dx				4	•
Зх2	_		2	х+
12х+З-У51					+с,
2х+з+		у-
			5
s		dz				1 •
2z2	-2z+