Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§3)

ВОЗВЕДЕНИЕ

КОМПЛЕКСНОГО

ЧИС.,1А

В

СТЕПЕНЬ

211

сопряженными

числами.

Отсюда,

в

частности,

вытекает

следую­

щая

теорема.

Теорем а. Если в			многочлен.	с
ентами	A0xn+A 1 xn-	1	+ ... +Ап
a+ib, а	затем сопряженное число

действителышми		коэффици­
подставить	вместо	х	число
a-ib, то и результаты этих

подстановок

будут

взаимно

сопряженными.

§

3.

Возведение

комплексного

числа

в

степень

и

изв~ечение

корня

из

комплексного

числа

1. Возведение в

параграфа следует, что

степень. Из

если n - целое

формулы (3') предыдущего

положительное число, то

[r

(cos

с:р

+

i

sin

с:р)]п

=

,п

(cos

nc:p+

i

sin

nc:p).

(1)

Эта

формула

называется

формулой

Муавра.

Она

показывает,

что при степень

возведении комплексного модуль возводится в эту

числа в	целую положительную
степень,	а аргумент умножа­

ется на	показатель степени.
Рассмотрим		теперь еще		одно приложение		формулы
Полагая	в этой	формуле	r	= 1,	получим
		(cos q; +i	sin c:p)n		= cos nc:p+ i sin nc:p.

Муавра.

Разлагая левую часть			по формуле бинома
нивая	действительные	и	мнимые		части,		мы
sin nc:p	и cos nc:p через	степени		sin с:р		и cos с:р.
случае	n = З получаем

Ньютона	и прирав­
сможем	выразить
Так, например, в

cos

3

с:р+

i•

З

cos

2

c:p

sin

с:р-3

cos

с:р

sin

2

с:р-

i

sin

3

с:р=

cos

Зс:р+

i

siп

Зс:р;

-

используя условие равенства
cos Зс:р= cos	3	<р -	3 cos с:р sin	2	<р,

двух

комплексных

чисел,

получим

sin Зс:р = -

sin

3

<р + 3 cos

2

с:р sin <р.

2.

Из

влечение

к

о

р

н

я.

Корнем

п-й

cmeneнtt

из

комп­

лексного которого

числа называется такое	комплексное
равняется подкоренному	числу, т. е.

число,

п-я

степень

j/

r

(cos

с:р+

i

sin

с:р)

=

р

(cos'lj,+

i

sin

'Ф),

если

pn

(cos

n'lj,

+

i

sin

mj,)

=

r

(cos

с:р

+

i

sin

с:р).

Так

как

у

равных

комплексных

чисел

модули

должны

быть

равны,

а

аргументы

могут

отличаться

на

число,

кратное

2n,

то

pn=r,		nф=c:p+2kn. Отсюда
k -	любое целое число, j/, -
ное	положительное) значение

находим	р= j/,,		'Ф=q>+	2	kn, где
			п
а]}ифметическое		(т.	е. действитель­
корня из	положительного			числа r.

Следовательно,

v'

r

(cos

с:р+

i

sin

<р)

=

j/,

(

cos

q>+;lm

+

'i

sin

q>~2kn)

•

(2)