Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

46.	Найти
Отв.	4(а3 -Ь3)
	аЬ

длину

'УПРАЖНЕНИЯ: К ГЛАВЕ			XII
эволюты	эллипса		с2
		x=-ccs
			3
			а

t,

421

47.	Найти	длину	кардиоиды p=a(l+cos1p). Отв.
48.	Найти	длину		дуги	эвольвен1ы	окружности
y=a(sin1p-q,cos1p)			от	<р=О	до <р=<р1•	Отв. aq,i/2.

Ва. x=a(cosq:,+1psin1p),

Вычисление

площадей

поверхностей

тел

вращения

у

2

49. =4ах

Найти вокруг

площадь
оси	Ох,

поверхнос1и,
от	начада О

полученной
до точки	с

вращением		параболы
абсциссой	х=3а.		Отв.

56.na	2	/3.
50.			Найти	площадь		поверхности		конуса,		образуемого
прямой			у=2х	от х = О до х= 2:			а)	Вокруг оси Ох.			Отв.
оси	Оу.		Отв.	4л V5.
	51.		Найти		площадь	поверхности			тора,	полученного
х2+(у-Ь)2 =а2					вокруг	оси Ох	(Ь > а).		Отв.	4:rt2ab.

вращением	отрезка
8:rt 'J,г-5. б)		Вокруг
вращением		круга

52.

Найти

площадь

поверхности

тела,

образованного

вращением

карди­

оиды	вокруг	оси	Ох.	Кардиоида	задана
x=a(2cos1p-cos2<p), y=a(2sinq,-sin2q:,).

параметрическими
Отв.	l28.na	2	/5.

уравнениями

53.

Найти

площадь

поверхности

тела,

полученного

вращением

одной

арки

циклоиды x=a(t-sint), y=a(l-cost) около оси Ох. 54. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около

Отв. 64ла			2	/3.
сси	Оу.	Найти

поверх-

ность

тела

вращения.

Отв.

16л

2

а

2

+

64 3

ла2

•

55. лельной

Арка	циклоиды (см. задачу
оси	Ох и проходящей через

53) вращается около касательной, парал­
вершину.	Найти	поверхность тела вра­

щения.

Отв.

32ла

2

/3.

56.

Астроида x=asin

3

t,

y=aco&

3

t вращается около оси Ох.

Найти

ность тела вращения: Отв.

2

/5.

12ла

57.

Дуга синусоиды

y=sin хот

х=О

до

х=2л вращается

около

Найти

поверхность

тела

вращения.

Отв.

4л

[

V2 +ln (V2+

1)).

58.

х2

у2

1

(а>

Ь)

вращается

вокруг оси Ох.

Найти

Эллипс а

2

+Ь2=

поверх­ оси Ох.

поверх-

ность

тела

вращения.

Отв.

2лb

2

+2лabarc:in

е

,

где

с

VаЧ72 а

Различные

приложения

определенного

интеграла

59.

Найти

центр

масс

площади

четверти

эллипса

х2	у2
а2°+Ь2

=

1

(х;:;,,,,

О,

у;:;,,,,О).		Отв. 4а/3л; 4b/3n.
	60.	Найти центр		масс	площади	фигуры, ограниченной
-	16=0 и осью		Ох.	Отв.	(О; 8/5).
	61.	Найти	центр масс объема			полушара.	Отв. На

параболой х		2	+4у-­
оси	симметрии,			на

расстоянии 3RJB от			основания.
62.	Найти	центр		масс поверхнссти
на расстоянии		R/2	от	основания.
63.	Найти	центр		масс поверхности
основания которого			R, а высота h. Отв.

полушара.	Отв.	На	оси симметрии,
кругового	прямого		конуса,	ради ус.
На оси симметрии, на			расстоянии h/3

от основания.				линиями y=sinx(Ois;;;;x...;;n), у=О.
64.	Фигура	ограничена
масс площади этой фигуры.				Отв. (:rt/2,	п/8).
65.	Найти	центр	масс площади		фигуры,	ограниченной
у2=20х, х =20у. Отв.			(9; 9).
	2

Найти центр параболами

ПРЕДМЕТНЫЙ

~'КАЗАТЕЛЬ

425

Зависимость					функциональная 19											93
Задание			кривой					параметрическое
-	линии		с		помощью							поверхностей
	288	интерполирования функций														223
Задача
Замена переменной										в	неопределенном
	интеграле				321
-	-	-	определенном										интеграле
	374-375												373
Знак двойной						подстановки
-	интеграла				316						150,		175
Значение			критическое													158
-	функции			на		отрезке					наибольшее
-	-	-	-		наименьшее							158
-	-	неско,1Jьких						переменных наиболь-
	шее 237											237
-	-	-	-		наименьшее
-	-	одной			переменной							наибольшее 57
-	-	-	-		наименьшее							57
-	экстремальное								148
Извлечение					корня					из		комплексного
	ЧИС,1Jа		211
Инвариантность								формы				дифференци-
	ала 105													250
-	-	полного				дифференциала
Инвалюта 194
Интеграл,				зависящий								от	параметра
-	393									316
	неопределенный															397
-	-	от	комплексной									функции
-	-	-	суммы				функций						319
-	несобственный								378
-	определенный								359							397
-	-	от	комплексной									функции
-	от	разрывной						функции					382		378
-	с	бесконечными								пределами
-	эллиптический								348
Интегрирование									11ррациональных
-	функций				337,				338						321
	методом				замены					переменной
-	неравенства						почленное						368
-	по	частям				325
-	-	-	в		случае					определенного						ин-
-	теграла				376				385-393
	приближенное
-	простейших						рациональных							дробей
-	329-331												335-337
	рациона,1Jьных								дробей
-	тригонометрических											функций			341-
-	345				316
	функций
-	- , содержащих									квадратный					трех-
	член		323-325
Интервал				17		17
-	замкнутый											152, 155,				160,
Исследование						функций
	162,		167,			171,			175

Кардиоида 30,			408		68
Касательная к			кривой
-	-	поверхности		309
Концы		отрезка	18		28
Координаты по,1Jярные
-	центра масс		414
Корень кратности				k 220
-	многочлена		217
-	уравнения 217
-	функции 124

Косинус			гиперболический				99
Котангенс				гиперболический				99	68
Коэффициент угловой касательной
Коэффициенты					многочлена		26
Кривая			вогнутая			162
-	выпуклая 162
-	Гаусса			165
Кривизна 187, 189
-	кривой,			заданной в полярных					ко-
	ординатах				191		!90
-	- ,	-	параметрически
-	плоской			кривой 303				300,	303
-	пространственной кривой
-	-	-	средняя			300
-	средняя			186		192
Круг		кривизны
Кручение кривой						307
Лемниската 30
Линии		уровня 258
Линия			винтовая			289, 408
Лист декартов 177
Логарифм				натуральный 52
Максимум				146
-	функции				нескольких		переменных
	265,
Метод		замены			переменной		при нахож.
	дении			неопределенного				интеграла
-	321						277
	наименьших					квадратов			334
-	неопределенных коэффициентов
Минимакс				270
Минимум				147
-	функции				нескольких		переменных
	265			26, 217
Многочлен
-	Бернштейна					228
-	Ньютона				интерполяционный 226
-	Чебышева				228
Модуль			15			числа 207
-	комплексного
-	перехода				М	52
-	скорости 304					417-418
Момент			инерции
-	статический 414