Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§

)J

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

231

первого

примера

можно

составить S=xy

следующую

таблицу:

~\\о
1		о
2	t	о
3		о
4		о

1

1

1 2 3 4

1,5 1

1,5 3 4,5 6

1

2

2 4 6 8

1

3

3 6 9 12

В

этой

таблице

на

пересечении

строки

и

столбца,

соответствую­

щих

определенным

значениям

х

и

у,

проставлено

соответствую­

щее	значение функции S.
	Если функциональная

зависимость

z

=

f

(х,

у)

получается

в

результате

измерений

величины

z

при

экспериментальном

изу­

чении какого-либо явления, то деляющая z как функцию двух

сразу получается таблица, переменных. В этом случае

опре­ функ­

ция	задается	только таблицей.
	Как и в	случае одной независимой

переменной,

функция двух

переменных х и у.

существует,

вообще

говоря,

не

при

.любых

значениях

Определение 2. Совокупность при которых определяется функция z

пар = f

(х,	у)
(х, у),

значений х	и у,
называется	обла­

стью определения

или

обла_стью

существования

этой

функции.

Область	определения		функции наглядно
метрически.	Если	каждую		пару значений	х
ражать точкой М		(х, у)	в	плоскости Оху,	то

иллюстрируется гео­
и у мы	будем изоб­
область	определения

функции

изобразится

в

виде

некоторой

совокупности

точек

на

плоскости. Эту	совокупность	точек будем		таJ<же	называть облас­
тыо определения функции.		В	частности,	областью определения
может быть и	вся плоскость.		В дальнейшем мы		будем главным

образом

иметь

дело

с

такими

областями,

которые представляют

собой

части

плоскости,

ограниченные

линиями.

Ли­

нию, ограничивающую	данную	область,
области. Точки области, не лежащие на
внутренними точками	области.	Область,

будем называть границей границе, будем называть состоящая из одних внут­

ренних

точек,

называется

открытой

или

незамкнутой.

Если

же

к области относятся и точки нутой. Область называется

границы, то область ограниченной, если

называется существует

замк­ такая

постоянная

С,

что

расстояние

любой

точки

М

обJJасти

от

начала

координат

О

меньше

С,

т.

е.

!ОМ[<С.

П р и м е р	5. Определить	естественную область определения		функции
=2х-у.		2х-у имеет смысл при	любых значениях х
Аналитическое выражение
Следовательно,	естественной	областью определения	функции	является

z =

и у. вся

плоскость

Оху.

§

4)

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2-35

переменных и= f (х,	у, t)	имеем
Лхи=f(х+Лх,		у,	t)-f(x,	у,	t),
Луи=f(х,	у+Лу,		t)-f(x,	у,	t),
Лtи=f(х,	у, t+лt)-f(x,			у,	t),
Ли=f(х+Лх,		у+Лу, t+Лt)-f(x,g,

t).

§

4.

Непрерывность

функции

нескольких

переменных

Введем

одно

важное

вспомогательное

понятие

-

понятие

окрест­

.

ности данной точки

r

точки

М0 (х0,

у0)

называется

сово­

Окрестностью радиуса

купность

всех

точек

(х,

у),

удовлетворяющих

неравенству

J/(х-х0)2+(у-у0)2 < r,

т.

е.

совокупность

всех

точек,

лежащих

внутри круга радиуса

r

с

центром

в

точке

М

0

(х

0

,

у ).

0

Если

,

что функция

f

(х, у)

обладает

каким-либо

мы говорим

(х

,

у

0

)» или «в окрестности

точки (х0

, у0)»,

свойством «вблизи точки

0

найдется такой

круг

с центром

,

что

то под этим подразумеооем

(х	0	,
пая

	у	),	во всех	точках	которого		дан-
	0					свойст­
	функция обладает указанным

!/

вом.
Прежде	чем
непрерывности

рассматривать		qе
	понят
функции нескольких		пе­

ременных,

рассмотрим

понятие

преде­

ла

функции нескольких Пусть дана функция

переменных

*).

z=f

(х,

у),

I}

определенная	в	некоторой
плоскости Оху.		Рассмотрим
определенную	точку М0 (х0,

области G некоторую у0), лежащую

	Рис. 170.
в	области G или

на

ее

границе

(рис.

170).

1.

Число

А называется

пределом

функции

Определение

к точке М0

(х0,

у0),

если

f (х,

у)

при стремлении

точки

М (х, у)

для

каждого

числа

е

> О

найдется

такое

число

r

> О,

что

для

всех точек М

(х,

у), для

которых

выполняется

неравенство

ММ1)

< r,

имеет

место

неравенство 1f (х, у) - А

\

<

е.

Если -,. М

0

число
	0		0
(Х		,	у

А ),

является пределом			функции
ТО	пишут	f (х,
	lim		у)= А.
	Х--+Хо
	у у.

f

(х,

у)

при

М

(х,

у)

-,.

как пых

*) Мы будем		в основном	рассматривать функции		двух	переменных,	так
рассмотрение	трех и более		переменных не вносит				•
					никакик принципиаль
изменений, но		вносит добавочные технические		трудности.

238

ФУНКЦИИ

НЕСI<ОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

[ГЛ.

VJII

Это

свойство

формулируют

и

так.

Непрерывная

функция

в

замк­

нутой

ограниченной

области

D

достигает

по

крайней

мере

один

раз	наибольшего значения М и наименьшего значения т.
	Свойство 2. Если функция f(x, у, .•. ) непрерывна

в

замк­

нутой

и

ограниченной

области

D

и

если

М

и

т-

наибольшее

и

наименьшее		значения фун.кции	f	(х, у,		... )
любого числаµ, удовлетворяющего					условию т
в области	f	такая точка № (х~,	у;,		... ),	что
равенство		(х;, у;, ... )= µ.

в области, то для < µ < М, найдется

будет выполняться

Следствие

свойства

2.

Если

функция

f(x,

у,

...

)

не­

прерывна в замкнутой ограниченной области	и
положительные, так и отрицательные значения,	то

принимает как внутри области

найдутся точки,

в

которых функция

f

(х,у,

..

.)

обращается

в

нуль.

§

5~

Частные

производные

функции

нескольких

переменных

z=

О п р еде л е н и е. f (х, у) называется

Частной предел

производной	по	х
отношения частного

от	функции
приращения

Лхz

по х к Частная

приращению производная

Лх по

при х от

стремлении функции z =

Лх к f (х,

нулю. у) обозначается

одним

из

символов

'f'()дzдf fx, lx Х, У ' дх' дх'

Таким

образом,

по

определению,

~ = lim		Лхz = lim			f (х+лх, y)-f
дх	Лх-+-0	Лх	Лх	О	Лх

(х,

у).

Аналогично

частная

производная

по

у

от

функции

Z=

f

(х,

у)

определяется ции Луz по

как у к

предел отношения

приращению Лу

частного приращения

при стремлении Лу к

функ­ нулю.

Частная

производная

по

у

, Zy,

обозначается

одним

f'	дz	дf
у,	ду '	ду •

из

символов

Таким

образом,

Заметив, неизменном мулировать

~= lim Луz = lim f (х, у+Лу)-f'(х, У).
ду	Лу	О Лу	Лу О	Лу
что	Лхz	вычисляется при		неизменном у,	а Л,z при
х, мы можем			определения	частных производных сфор­
так:	частной		производной	по хот функции	z = f (х, у)

называется производная по х, вычисленная

у- постоянная. Частной производной по у

в предположении, что

от функции z = f (х, у)

называется

производная

по

у,

вычисленная

в

предположении,

что	х -	постояиная.
	Из	этого	определения ясно, что правила вычисления
производных			совпадают	с	правилами, указанными дпя

частных функций

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ:

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ:

239

одной какой

переменной, переменной

и только требуется ищется проиаводная.

каждый

раз

помнить,

по

Пр и мер 1.

Дана функция

2

=

х

2

sin у;

дz

дz

водные дх

и ду.

дz

дz

2

соsу.

Решение.

дx=2xslny,

ду=х

Пример 2.

z=,!J.

у

Здесь

дz

и-1

дz

=Х

ln.x.

дх =ух-

,

ду

требуется

найти

частные

nроиз-

Частные производные			функции любого		числа переменных
деляются	аналогично-.	Так, если		имеем функцию		и четырех
менных х,	у, z, t:		U=f (х,	у, Z, t),

опре­ пере­

то

ди	.	f (х+лх, у,
- =	1
	1m
дх	Лх--+-0	f (х, у+Лу,
ди	.
-д =	1
	1m
У	Лу-+-0

z,	t)-f
	Лх
z,	t)~f
	л	У

(х,

(х,

у,

у,

z,

z,

t)

t)

и

т.

д.

Пример

3.	и=x2 +y2	+xtz3,
ди	=2x+tz3,	ди	=2у,
дх		ду

ди az=3xtz

2

,

ди дf

=

xz3.

§ 6.

Геометрическая интерпретация частных функции двух переменнык

производных

Пусть

уравнение

z=f

(х,

у)

есть уравнение поверхности,		изображенной		на	рис. 173.
Проведем плоскость	х = const.		В сечении	этой		плоскости	с
верхностью получится	линия	РТ.	При данном		х	рассмотрим

по­ на

плоскости Оху

некоторую

точку

М

(х,

у).

Точке

М

соответствует

точка ляя х

Р (х, у, z), принадлежащая поверхности z = f (х, у). неизменным, дадим переменной у приращение Лу =

Остав­ MN =

=РТ'. Тогда		функция	z	пол.учит
N (х,	у+Лу) соответствует точка Т
ности	z = f (х,	у)).

приращение (х, у +лу,

Луz = z+Лuz)

ТТ' на

(точке поверх­

Отношение

л z ;У

равно

тангенсу

угла,

образуемого

секущей

РТ

с

положительным

направлением

оси Оу:

Луz Лу=

tg

.,,,.._, ТРТ.

240

Ф~НКЦИ.И

НЕСR0ЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

(ГЛ.

Vlll

z

Следовательно,

предел

	lim	Луz	= !!..
	Лу О	Лу	ду
равен тангенсу угла				~.	образо­
ванного	касательной			РВ к кри­
вой РТ	в точке		Р	с	положи­
телоным	направлением				оси Оу:
	дz	= tgp.
	ду

дz ду

Итак,	частная	производная
численно равна тангенсу уr-

Рис.

173.

А	частная
налоrично

ла наклона		касательной к			кри-
вой, получающейся			в	сечении
поверхности		z = f (х,		у)	плос­
костью	х = const.
дz	численно равна			тангенсу
производная дх

угла наклона а ПЛОСКОСТЬН) и=

касательной const.

к

сечению

поверхности

z

=

f

(х,

у)

§

7.

Полное

приращение

и

полный

дифференциал

По определению полноrо приращения функции
(см.	§ 3)
	Лz=f (х+Лх,	у+Лу)-f{х, у).

z

=

f

(х,

у)

имеем (1)

Предположим,

что

f

(х,

у)

в

рассматриваемой

точке

(х,

у)

имеет

непрерывные	частн:ьrе		производные.
Выразим	Лz	через	частные	производные.
части равенства		(1) прибавим		и вычтем	f (х,

Для этоrо у+Лу):

в

правой

Лz=[f

(х+Лх,

у+Лу)-f

(х,

у+Лу)]+[f

(х,

у+Лу)-f(х,

у)].

(2)

Выражение

f(x,

у+Лу)-f(х,

у),

стоящее разность остается

во второй квадратной скобке,			можно рассматривать		как
двух значений	функции	одной	переменной	у (значение х
постоянным).	Применяя	к этой разности		теорему	Лаг­

ранжа,

получим

f(x,

у+Лу)-f(х,

у)=

Лу

дf

~;у),

[(3)

где	у заключено			между у и	у+ Лу.
	Точно	так	же	выражение,	стоящее
равенства		(2),	можно рассматривать

в первой квадратной скобке как разность двух значений